Как я дошел до жизни такой - 3
Feb. 20th, 2023 12:36 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТаким образом, плоские модули оказались как бы в перекрестье троп, ведущих вниз от двух главных технических вершин моей деятельности периода, предшествовавшего эмиграции -- полубесконечной гомологической алгебры и контрагерентных копучков. Неудивительно, что когда в 2015-16 годах настала пора спускаться из-под облаков ближе к населенным долинам, я стал писать про плоские модули.
И тогда два рукава теории контрагерентных копучков нашли свое продолжение в виде двух рукавов теории плоских модулей.
С одной стороны, можно подбирать какие-то классы "хороших плоских модулей", особенно просто устроенных и удобных для использования. В таком контексте, надо доказывать, что те или иные плоские модули, возникающие где-то каким-то образом -- или, при каких-то ограничительных предположениях, все плоские модули -- достаточно хороши.
Так я стал писать про сильно плоские модули, очень плоские модули, вполне плоские модули... про плоские эпиморфизмы колец счетного типа, про плоские эпиморфизмы колец относительной размерности Крулля ноль...
С другой стороны, можно пытаться продемонстрировать, что в сущности, даже совершенно произвольные плоские модули не так уж и далеко ушли от проективных. Да, вне узких рамок нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля -- которые, конечно, типичный коммутативный алгебраист или алгебраический геометр считает, наоборот, широченными и включающими весь предмет -- вне этих рамок плоские модули не обязаны иметь конечную проективную размерность.
Но, говорит нам второй рукав теории, не в конечности гомологической размерности счастье. Надо пользоваться копроизводными и контрапроизводными категориями в смысле Беккера. Надо пользоваться теоремами периодичности.
В конце концов, что такое плоские модули? Это всего лишь прямые пределы проективных. Прямые пределы, говорит нам второй рукав теории -- не такая уж и сложная штука. Если знать, с какой стороны к ним подойти.
Так я стал писать про fp-проективную периодичность, про периодичность кокручения, про обобщенные теоремы периодичности, про плоскую/проективную периодичность...
И тогда два рукава теории контрагерентных копучков нашли свое продолжение в виде двух рукавов теории плоских модулей.
С одной стороны, можно подбирать какие-то классы "хороших плоских модулей", особенно просто устроенных и удобных для использования. В таком контексте, надо доказывать, что те или иные плоские модули, возникающие где-то каким-то образом -- или, при каких-то ограничительных предположениях, все плоские модули -- достаточно хороши.
Так я стал писать про сильно плоские модули, очень плоские модули, вполне плоские модули... про плоские эпиморфизмы колец счетного типа, про плоские эпиморфизмы колец относительной размерности Крулля ноль...
С другой стороны, можно пытаться продемонстрировать, что в сущности, даже совершенно произвольные плоские модули не так уж и далеко ушли от проективных. Да, вне узких рамок нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля -- которые, конечно, типичный коммутативный алгебраист или алгебраический геометр считает, наоборот, широченными и включающими весь предмет -- вне этих рамок плоские модули не обязаны иметь конечную проективную размерность.
Но, говорит нам второй рукав теории, не в конечности гомологической размерности счастье. Надо пользоваться копроизводными и контрапроизводными категориями в смысле Беккера. Надо пользоваться теоремами периодичности.
В конце концов, что такое плоские модули? Это всего лишь прямые пределы проективных. Прямые пределы, говорит нам второй рукав теории -- не такая уж и сложная штука. Если знать, с какой стороны к ним подойти.
Так я стал писать про fp-проективную периодичность, про периодичность кокручения, про обобщенные теоремы периодичности, про плоскую/проективную периодичность...
