![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКак доказывать сформулированное в предыдущем постинге? В общем и в целом, речь идет о редукции к случаю одномерного регулярного локального кольца, рассматривавшемуся (без определения понятия "контрамодуль", конечно) в известной статье Continuous étale cohomology и далее в Appendix A к моей полубесконечной книжке.
Конкретнее, доказать, что R-контрамодуль P обладает свойством б), можно так. Прежде всего утверждается, что для любого R-модуля M и R-контрамодуля P, R-модуль HomR(M,P) всех R-модульных гомоморфизмов M → P имеет естественную структуру R-контрамодуля с "поточечными" операциями бесконечного суммирования. Отсюда следует, что и R-модули ExtRi(M,P) имеют естественные структуры R-контрамодулей.
С другой стороны, если в R-модуле L элемент s ∈ m действует обратимым оператором, то тем же свойством обладает и R-модуль ExtRi(L,N), для любого R-модуля N и любого i ≥ 0. Остается отметить, что R-контрамодуль Q с таким свойством всегда равен нулю по (контрамодульной) лемме Накаямы: mQ = Q влечет Q = 0.
Чтобы построить на R-модуле P, обладающем свойством в), структуру R-контрамодуля, можно рассуждать примерно так. Выберем конечный набор образующих xj идеала m. Рассмотрим кольцо T формальных степенных рядов от переменных tj с коэффициентами в R, и наделим его обычной (t-адической) топологией формальных степенных рядов. Тогда T, конечно, не топологическое локальное кольцо в смысле моей обычной терминологии, но это полное отделимое топологическое кольцо с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых идеалов. Поэтому имеется абелева категория T-контрамодулей.
Далее, имеется естественный гомоморфизм топологических колец T → R, тождественный в ограничении на R и переводящий tj в xj. Поскольку xj порождают m, это открытое отображение, т.е. топология R является фактортопологией топологии на T. Дальше предлагается сначала построить (пользуясь свойством в)) структуру T-контрамодуля на P, а потом убедиться, что она спускается до структуры R-контрамодуля. (Для последнего, полезно иметь описание ядра гомоморфизма T → R -- похоже, оно просто порождается элементами tj−xj как идеал, даже без перехода к замыканию.)
Конкретнее, доказать, что R-контрамодуль P обладает свойством б), можно так. Прежде всего утверждается, что для любого R-модуля M и R-контрамодуля P, R-модуль HomR(M,P) всех R-модульных гомоморфизмов M → P имеет естественную структуру R-контрамодуля с "поточечными" операциями бесконечного суммирования. Отсюда следует, что и R-модули ExtRi(M,P) имеют естественные структуры R-контрамодулей.
С другой стороны, если в R-модуле L элемент s ∈ m действует обратимым оператором, то тем же свойством обладает и R-модуль ExtRi(L,N), для любого R-модуля N и любого i ≥ 0. Остается отметить, что R-контрамодуль Q с таким свойством всегда равен нулю по (контрамодульной) лемме Накаямы: mQ = Q влечет Q = 0.
Чтобы построить на R-модуле P, обладающем свойством в), структуру R-контрамодуля, можно рассуждать примерно так. Выберем конечный набор образующих xj идеала m. Рассмотрим кольцо T формальных степенных рядов от переменных tj с коэффициентами в R, и наделим его обычной (t-адической) топологией формальных степенных рядов. Тогда T, конечно, не топологическое локальное кольцо в смысле моей обычной терминологии, но это полное отделимое топологическое кольцо с базой окрестностей нуля, состоящей из открытых идеалов. Поэтому имеется абелева категория T-контрамодулей.
Далее, имеется естественный гомоморфизм топологических колец T → R, тождественный в ограничении на R и переводящий tj в xj. Поскольку xj порождают m, это открытое отображение, т.е. топология R является фактортопологией топологии на T. Дальше предлагается сначала построить (пользуясь свойством в)) структуру T-контрамодуля на P, а потом убедиться, что она спускается до структуры R-контрамодуля. (Для последнего, полезно иметь описание ядра гомоморфизма T → R -- похоже, оно просто порождается элементами tj−xj как идеал, даже без перехода к замыканию.)
