posic

Развитие http://posic.livejournal.com/571928.html , см. также http://posic.livejournal.com/752004.html

Пусть группа G действует на CDG-алгебре (B,d,h) автоморфизмами в категории CDG-алгебр. Что это значит? Для любого элемента g ∈ G должен быть задан автоморфизм ρ_g градуированной алгебры B и элемент a_g ∈ B¹, удовлетворяющие уравнениям d(ρ_g(b)) = ρ_g(d(b)) − [a_g,ρ_g(b)] для всех b ∈ B и d(a_g) + a_g² = 0. Кроме того, должно быть выполнено условие согласования с композицией: ρ_st = ρ_sρ_t и a_st = a_s + ρ_s(a_t).

Пример такой ситуации: пусть H -- группа Ли, P -- главное H-расслоение на многообразии M, B -- алгебра дифференциальных форм на M с коэффициентами в расслоении алгебр Ли на M, связанном с главным расслоением P и присоединенным действием H на своей алгебре Ли (расслоении Н-инвариантных вертикальных векторных полей на P). Пусть (B,d_∇,h_∇) -- структура CDG-алгебры на B, связанная с (произвольно выбранной) связностью ∇ в P (как написано в статье FAA-93). Тогда группа G сечений расслоения групп Ли на M, связанного с главным расслоением P и присоединенным действием H на себе (она же группа автоморфизмов главного расслоения P) действует автоморфизмами CDG-алгебры (B,d_∇,h_∇).

Другой пример такой ситуации: пусть (B,d,h) -- произвольная CDG-алгебра, G -- группа обратимых элементов некоммутативного кольца B⁰. Тогда G действует автоморфизмами на CDG-алгебре B; действие это задается правилами ρ_z(b) = zbz⁻¹ и a_z = −d(z)z⁻¹. (Отметим, что на DG-алгебре (A,d) естественно действует автоморфизмами только группа обратимых элементов кольца A⁰, аннулируемых d.)