Модельная структура на wcDG-алгебрах
Mar. 12th, 2012 12:25 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicСлабо искривленные DG-алгебры над топологическим локальным кольцом не могут быть модельной категорией, поскольку их категория не имеет всех пределов и копределов. Но на них можно определить то, что называется "модельную структуру" -- набор данных модельной категории, удовлетворяющий всем аксиомам, кроме существования пределов и копределов.
При этом можно надеяться, что конкретные рассуждения/конструкции с модельными категориями, использующие пределы и копределы, будут обычно применимы к слабо искривленным DG-алгебрам, поскольку используемые в них конкретные частные случаи пределов и копределов будут фактически существовать.
Хотелось бы утверждать, что категория wcDG-алгебр над R имеет модельную структуру, в которой
- слабые эквивалентности суть "полуизоморфизмы" (квазиизоморфизмы по модулю m);
- расслоения суть сюръективные отображения (или точнее, морфизмы wcDG-алгебр, у которых подлежащие морфизмы градуированных алгебр сюръективны);
- корасслоения суть морфизмы, становящиеся корасслоениями DG-алгебр над полем после приведения по модулю m.
Напомним, что корасслоения DG-алгебр над полем суть ретракты морфизмов DG-алгебр A → B, в которых B есть DG-алгебра, свободно порожденная над A как градуированная алгебра вполне упорядоченной последовательностью элементов, причем дифференциал каждого следующего из них лежит в подалгебре, порожденной (над A) предыдущими.
Сформулированное выше означает, что корасслоения wcDG-алгебр определяются другим и более слабым условием: они суть ретракты морфизмов DG-алгебр A → B, в которых градуированная R-контрамодульная алгебра B свободно порождена над A вполне упорядоченной последовательностью элементов, дифференциал каждого следующего из которых лежит в подалгебре, порожденной (над A) всеми предыдущими образующими и всеми элементами B, делящимися на m.
Доказывать это предлагается так же, как в предыдущих постингах предполагалось доказывать сформулированные там утверждения: индукцией по степени нильпотентности коэффициентов с базой в виде теоремы о модельной категории DG-алгебр над полем. Корректное обращение с операцией перехода к ретрактам будет, видимо, основной технической трудностью.
При этом можно надеяться, что конкретные рассуждения/конструкции с модельными категориями, использующие пределы и копределы, будут обычно применимы к слабо искривленным DG-алгебрам, поскольку используемые в них конкретные частные случаи пределов и копределов будут фактически существовать.
Хотелось бы утверждать, что категория wcDG-алгебр над R имеет модельную структуру, в которой
- слабые эквивалентности суть "полуизоморфизмы" (квазиизоморфизмы по модулю m);
- расслоения суть сюръективные отображения (или точнее, морфизмы wcDG-алгебр, у которых подлежащие морфизмы градуированных алгебр сюръективны);
- корасслоения суть морфизмы, становящиеся корасслоениями DG-алгебр над полем после приведения по модулю m.
Напомним, что корасслоения DG-алгебр над полем суть ретракты морфизмов DG-алгебр A → B, в которых B есть DG-алгебра, свободно порожденная над A как градуированная алгебра вполне упорядоченной последовательностью элементов, причем дифференциал каждого следующего из них лежит в подалгебре, порожденной (над A) предыдущими.
Сформулированное выше означает, что корасслоения wcDG-алгебр определяются другим и более слабым условием: они суть ретракты морфизмов DG-алгебр A → B, в которых градуированная R-контрамодульная алгебра B свободно порождена над A вполне упорядоченной последовательностью элементов, дифференциал каждого следующего из которых лежит в подалгебре, порожденной (над A) всеми предыдущими образующими и всеми элементами B, делящимися на m.
Доказывать это предлагается так же, как в предыдущих постингах предполагалось доказывать сформулированные там утверждения: индукцией по степени нильпотентности коэффициентов с базой в виде теоремы о модельной категории DG-алгебр над полем. Корректное обращение с операцией перехода к ретрактам будет, видимо, основной технической трудностью.
