Пример не точной категории
Feb. 17th, 2012 12:02 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicМного примеров точных категорий, в том числе весьма изощренных примеров, можно найти в разных текстах, в том числе, и в моих. А вот простой, естественный пример аддитивной категории с классом точных троек, не являющейся точной категорией.
Пусть G -- (скажем, конечная) группа, R -- (коммутативное) кольцо; нашей аддитивной категорией будет полная подкатегория в категории R[G]-модулей, состоящая из всех R[G]-модулей, индуцированных с R-модулей. Рассмотрим класс всех троек в этой категории, индуцированных с точных троек R-модулей.
Это не точная категория, потому что не выполнены аксиомы замены базы и кобазы. Если взять точную тройку R[G]-модулей A[G] → B[G] → C[G], индуцированную с точной тройки R-модулей A → B → C, и морфизм D[G] → C[G] в нашей аддитивной категории, то построить по этим данным точную тройку A[G] → X[G] → D[G] в нашей категории не получится, да и само расслоенное произведение X[G] объектов B[G] и D[G] над C[G] может не существовать в нашей аддитивной категории.
Потому что морфизм-то R[G]-модулей D[G] → C[G] может не быть индуцированным с морфизма R-модулей! В аксиоме замены базы, входящей в определение точной категории, это может быть любой морфизм в аддитивной категории, точная структура на которой рассматривается. А морфизмы между индуцированными G-модулями бывают всякие-разные.
Отметим, что для этого контрпримера нужно именно кольцо R, поля недостаточно. Потому что если в категории R-модулей все точные тройки расщепимы, то и наш класс точных троек индуцированных R[G]-модулей будет состоять ровно из всех расщепимых троек. И будет просто X[G] = A[G] ⊕ D[G].
Пусть G -- (скажем, конечная) группа, R -- (коммутативное) кольцо; нашей аддитивной категорией будет полная подкатегория в категории R[G]-модулей, состоящая из всех R[G]-модулей, индуцированных с R-модулей. Рассмотрим класс всех троек в этой категории, индуцированных с точных троек R-модулей.
Это не точная категория, потому что не выполнены аксиомы замены базы и кобазы. Если взять точную тройку R[G]-модулей A[G] → B[G] → C[G], индуцированную с точной тройки R-модулей A → B → C, и морфизм D[G] → C[G] в нашей аддитивной категории, то построить по этим данным точную тройку A[G] → X[G] → D[G] в нашей категории не получится, да и само расслоенное произведение X[G] объектов B[G] и D[G] над C[G] может не существовать в нашей аддитивной категории.
Потому что морфизм-то R[G]-модулей D[G] → C[G] может не быть индуцированным с морфизма R-модулей! В аксиоме замены базы, входящей в определение точной категории, это может быть любой морфизм в аддитивной категории, точная структура на которой рассматривается. А морфизмы между индуцированными G-модулями бывают всякие-разные.
Отметим, что для этого контрпримера нужно именно кольцо R, поля недостаточно. Потому что если в категории R-модулей все точные тройки расщепимы, то и наш класс точных троек индуцированных R[G]-модулей будет состоять ровно из всех расщепимых троек. И будет просто X[G] = A[G] ⊕ D[G].
