![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРазвитие постинга http://posic.livejournal.com/1024084.html
Пусть B -- CDG-кольцо; обозначим через Hot(B-mod) гомотопическую категорию левых CDG-модулей над B. Триангулированная категория Hot(B-mod) является гомотопической категорией следующей (стабильной) модельной структуры на абелевой категории Z0(B-mod) левых CDG-модулей над B и замкнутых морфизмов между ними: корасслоения суть инъективные морфизмы, являющиеся вложениями прямых слагаемых в категории градуированных B#-модулей; расслоения, аналогичным образом, суть сюръективные морфизмы, расщепимо сюръективные в категории градуированных B#-модулей; слабые эквивалентности суть просто гомотопические эквивалентности CDG-модулей.
Заметим, что подлежащая категория Z0(B-mod) абелева и эквивалентна категории градуированных модулей над подходящим кольцом (обозначаемым обычно через B~ = B[δ]). Вышеописанная модельная структура на ней не является "абелевой модульной структурой" (в смысле известного определения Hovey); это "точная модельная структура", согласованная со структурой точной категории на Z0(B-mod), в которой тройка CDG-модулей точна, если она расщепимо точна в категории градуированных B#-модулей. Тем не менее, это некоторая модельная структрура на абелевой категории Гротендика.
Соответственно, к триангулированной категории Hot(B-mod) применима теорема 2.4 из работы http://arxiv.org/abs/1106.2218 , согласно которой в гомотопической категории стабильной модельной структуры на локально представимой категории всякая полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно бесконечных произведений, является компонентой полуортогонального разложения (в предположении принципа Вопенки). В частности, это применимо к наименьшей полной триангулированной подкатегории в Hot(B-mod), замкнутой относительно бесконечных произведений и содержащей тотализации точных троек CDG-модулей над B. Применимо это и к каким-нибудь расширительным определениям подкатегории контраацикличных объектов, использующим трасфинитно-итерированные расширения, как описано в постинге по ссылке.
Что можно сказать о CDG-модуле, перпендикулярном слева ко всем тотализациям точных троек CDG-модулей? Ко всем трансфинитно-итерированым расширениям стягиваемых CDG-модулей и т.д.? Верно ли, что всякий такой CDG-модуль гомотопически эквивалентен CDG-модулю с проективным подлежащим градуированным B#-модулем?
Если нет, то не получается ли отсюда новый вариант "контрапроизводной модельной структуры" (ср. http://posic.livejournal.com/1023730.html и http://arxiv.org/abs/1205.4473 ) на категории CDG-модулей над B? Или даже серия из нескольких таких новых вариантов?
P.S. Заметим, что изложенный аргумент не выглядит прямо применимым к копроизводным модельным структурам, поскольку теоремы 3.7 и 3.9 из той же работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky гарантируют существование полуортогонального разложения с заданной компонентой -- полной триангулированной подкатегорией, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм, только в предположениях, что эта подкатегория порождена множеством объектов или большая триангулированная категория является гомотопической категорией кофибрантно порожденной модельной структуры на локально представимой категории. Модельная структура на Z0(B-mod), о которой идет речь в начале этого постинга, не похожа на кофибрантно порожденную.
С другой стороны, вполне удовлетворительное описание копроизводной модельной структуры для CDG-модулей над произвольным CDG-кольцом можно получить средствами из работы Ханно Беккера (по существу, у него это все написано); так что методы, основанные на принципе Вопенки, для копроизводных категорий, может быть, просто и не нужны.
Пусть B -- CDG-кольцо; обозначим через Hot(B-mod) гомотопическую категорию левых CDG-модулей над B. Триангулированная категория Hot(B-mod) является гомотопической категорией следующей (стабильной) модельной структуры на абелевой категории Z0(B-mod) левых CDG-модулей над B и замкнутых морфизмов между ними: корасслоения суть инъективные морфизмы, являющиеся вложениями прямых слагаемых в категории градуированных B#-модулей; расслоения, аналогичным образом, суть сюръективные морфизмы, расщепимо сюръективные в категории градуированных B#-модулей; слабые эквивалентности суть просто гомотопические эквивалентности CDG-модулей.
Заметим, что подлежащая категория Z0(B-mod) абелева и эквивалентна категории градуированных модулей над подходящим кольцом (обозначаемым обычно через B~ = B[δ]). Вышеописанная модельная структура на ней не является "абелевой модульной структурой" (в смысле известного определения Hovey); это "точная модельная структура", согласованная со структурой точной категории на Z0(B-mod), в которой тройка CDG-модулей точна, если она расщепимо точна в категории градуированных B#-модулей. Тем не менее, это некоторая модельная структрура на абелевой категории Гротендика.
Соответственно, к триангулированной категории Hot(B-mod) применима теорема 2.4 из работы http://arxiv.org/abs/1106.2218 , согласно которой в гомотопической категории стабильной модельной структуры на локально представимой категории всякая полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно бесконечных произведений, является компонентой полуортогонального разложения (в предположении принципа Вопенки). В частности, это применимо к наименьшей полной триангулированной подкатегории в Hot(B-mod), замкнутой относительно бесконечных произведений и содержащей тотализации точных троек CDG-модулей над B. Применимо это и к каким-нибудь расширительным определениям подкатегории контраацикличных объектов, использующим трасфинитно-итерированные расширения, как описано в постинге по ссылке.
Что можно сказать о CDG-модуле, перпендикулярном слева ко всем тотализациям точных троек CDG-модулей? Ко всем трансфинитно-итерированым расширениям стягиваемых CDG-модулей и т.д.? Верно ли, что всякий такой CDG-модуль гомотопически эквивалентен CDG-модулю с проективным подлежащим градуированным B#-модулем?
Если нет, то не получается ли отсюда новый вариант "контрапроизводной модельной структуры" (ср. http://posic.livejournal.com/1023730.html и http://arxiv.org/abs/1205.4473 ) на категории CDG-модулей над B? Или даже серия из нескольких таких новых вариантов?
P.S. Заметим, что изложенный аргумент не выглядит прямо применимым к копроизводным модельным структурам, поскольку теоремы 3.7 и 3.9 из той же работы Casacuberta-Gutierrez-Rosicky гарантируют существование полуортогонального разложения с заданной компонентой -- полной триангулированной подкатегорией, замкнутой относительно бесконечных прямых сумм, только в предположениях, что эта подкатегория порождена множеством объектов или большая триангулированная категория является гомотопической категорией кофибрантно порожденной модельной структуры на локально представимой категории. Модельная структура на Z0(B-mod), о которой идет речь в начале этого постинга, не похожа на кофибрантно порожденную.
С другой стороны, вполне удовлетворительное описание копроизводной модельной структуры для CDG-модулей над произвольным CDG-кольцом можно получить средствами из работы Ханно Беккера (по существу, у него это все написано); так что методы, основанные на принципе Вопенки, для копроизводных категорий, может быть, просто и не нужны.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2014-04-18 03:26 pm (UTC)no subject
Date: 2014-04-18 04:07 pm (UTC)> Как определяется К-теория от dg?
От DG-категории? Никогда не думал об этом. Уверен, что это известно науке, но не мне.
> Верно ли, что всегда существует такая модельная структура, что мы можем получить нашу как Hot от нее
нашу -- что? произвольную категорию? триангулированную категорию? производную категорию данной dg-категории? о чем идет речь?
> (берем кофибрантные замены и hom'ы между ними, да?)
не буквально так, но типа того. Лучше фибрантно-кофибрантные, если хотеть буквально так.
> (и дальше по Вальдфаузену или как там его...).
определяется К-теория произвольной модельной категории? Ничего не слыхал об этом, но я не специалист.
Если имеется в виду определять К-теорию DG-категории, то вряд ли для этого нужно или полезно выбирать какую-то произвольную модельную структуру с предписанной гомотопической категорией. Нельзя ли как-нибудь применить Вальдхаузена непосредственно к самой DG-категории или что-нибудь в этом роде?
> И K теория действительно не зависит?
Ничего не знаю об этом. Нееман когда-то писал об этом применительно к К-теории триангулированных категорий. Получалось очень длинно и сложно, трудно разобрать.
> Я в это не верю,
и многие другие не верят тоже.
> поэтому вопрос, какая модельная структура нужна,
В связи с DG-категорией? Ну, рассмотрите DG-категорию совершенных DG-модулей над исходной DG-категорией (лучше еще градуированную проективность потребовать заодно). Введите на ней (категории замкнутых морфизмов в ней) почленно/градуированно расщепимую модельную структуру (расслоения/корасслоения = сюръективные/инъективные морфизмы, расщепимые как морфизмы градуированных модулей/функторов, если забыть дифференциалы; слабые эквивалентности = коцепные гомотопические эквивалентности). Пределов и копределов в такой категории не будет, конечно, но остальные аксиомы модельной категории выполнены.
> чтобы получить хорошие свойства.
Не знаю. См. выше.
> Есть ли другие конструкции?
Не знаю. См. выше.
no subject
Date: 2014-04-20 09:45 am (UTC)no subject
Date: 2014-04-22 09:07 pm (UTC)no subject
Date: 2014-04-20 10:13 am (UTC)