Полубесконечная алгебраическая геометрия
Feb. 12th, 2014 10:32 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ общем, короче, сейчас это мыслится примерно так. Основным исходным данным является некоторый морфизм Y → X. Здесь:
- X -- это, примерно, инд-нетеров инд-стэк с дуализирующим комплексом; в общем, что-то вроде индуктивного предела цепочки замкнутых вложений конечномерных многообразий, профакторизованного по действию проаффинной проалгебраической группы;
- Y -- ну, что тут скажешь, что-то совсем большое; бесконечномерный во все стороны инд-стэк;
- морфизм Y → X -- что-то вроде расслоения; как минимум, плоский морфизм; или, хотя, наверное, не обязательно гладкий, но, может быть, что-то лучшее, чем произвольный плоский морфизм;
- слои морфизма Y → X -- примерно, квазикомпактные полуотделимые схемы; в общем, что-то бесконечномерное, но не сложно собранное-склеенное; наверное, не обязательно аффинные схемы, но не намного сложнее того.
В этом мире должны жить такие звери, как
- полу(ко)производная категория квазикогерентных пучков кручения на Y ("полупроизводная" -- значит копроизводная вдоль X и обычная производная вдоль слоев морфизма Y → X);
- полу(контра)производная категория контрагерентных копучков контрамодулей на Y;
- эквивалентность этих двух полупроизводных категорий, зависящая (как и последующие два пункта) от выбора дуализирующего комплекса на X;
- двусторонний производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y ("полутензорного" -- значит котензорного (т.е., !-тензорного) произведения вдоль X и обычного тензорного (*-тензорного) вдоль слоев);
- двусторонний производный функтор полугомоморфизмов из квазикогерентных пучков кручения в контрагерентные копучки контрамодулей на Y.
В этом контексте, полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур (таких, как полуобертывающая полуалгебра тейтовской алгебры Ли, типа алгебры Вирасоро или Каца-Муди, и т.п.) превращается в частный случай нарисованной выше картины, рассматриваемой в рамках некоммутативной алгебраической геометрии.
Пространством X в этой ситуации будет такой стэк -- фактор точки по действию проалгебраической группы, соответствующей положительной части нашей Вирасоро. А (не вполне корректно определенным, т.к. геометрия некоммутативная, но в грубом приближении) слоем морфизма Y → X будет некоммутативная аффинная схема -- спектр обертывающей алгебры (несуществующей) факторалгебры Вирасоро по ее положительной части (т.е., совсем грубо, обертывающей алгебры неположительной подалгебры в Вирасоро). Скажем, четвертый пункт в перечне выше будет в этой ситуации полубесконечными гомологиями этой Вирасоро (а пятый -- полубесконечными когомологиями, а третий -- соответствием между комплексами представлений на дополнительных уровнях, а первый -- полупроизводной категорией категории O).
В описанной ситуации с алгеброй Ли как бы отсутствует инд-измерение (есть только стэковое -- хотя я не уверен, что в некоммутативной геометрии грань между ними так уж отчетлива -- наверное, можно и на проалгебраическую группу как на инд-нульмерную некоммутативную инд-схему посмотреть, с неприводимыми представлениями в роли точек), и дуализирующий комплекс банален. Но, вообще говоря, все эти ингредиенты там могут быть. Скажем, если сделать структуру тейтовской алгебры Ли зависящей от параметров, а параметры заставить пробегать какое-нибудь особое алгебраическое многообразие, дуализирующий комплекс как раз понадобится.
P.S. Собственно, что во всем этом нового, по сравнению с тем, что написано в полубесконечной монографии? Возможность использования контрагерентных копучков для глобализации контрамодулей на неаффинные схемы -- да. Но помимо этого, еще и такое замечание (восходящее к Иенгару-Краузе, Нееману-Мурфету и т.д.)
В полубесконечной книжке рассматривалась "трехэтажная" ситуация с базовым некоммутативным кольцом A, над ним кокольцом C, над ним полуалгеброй S. Кольцо A должно было иметь конечную гомологическую размерность, без этого ничего не работало. В этом смысле говорилось, что "нулевой этаж у нас небольшой (конечной высоты), первый и второй полноразмерные (бесконечные)".
Теперь можно считать более-менее установленным, что нулевой этаж можно сделать намного выше, если включить в рассмотрение дуализирующий комплекс для кольца А (в некоммутативной ситуации -- вообще говоря, связывающий кольцо A с другим некоммутативным кольцом B). В полной общности это, конечно, еще не проработано и там могут быть трудности (например, с существованием резольвент), но ряд частных случаев вполне себе прописаны.
"Размер" колец с дуализирующими комплексами, конечно, тоже где-то там ограничен, но все же их разнообразие гораздо больше, чем просто колец конечной гомологической размерности.
- X -- это, примерно, инд-нетеров инд-стэк с дуализирующим комплексом; в общем, что-то вроде индуктивного предела цепочки замкнутых вложений конечномерных многообразий, профакторизованного по действию проаффинной проалгебраической группы;
- Y -- ну, что тут скажешь, что-то совсем большое; бесконечномерный во все стороны инд-стэк;
- морфизм Y → X -- что-то вроде расслоения; как минимум, плоский морфизм; или, хотя, наверное, не обязательно гладкий, но, может быть, что-то лучшее, чем произвольный плоский морфизм;
- слои морфизма Y → X -- примерно, квазикомпактные полуотделимые схемы; в общем, что-то бесконечномерное, но не сложно собранное-склеенное; наверное, не обязательно аффинные схемы, но не намного сложнее того.
В этом мире должны жить такие звери, как
- полу(ко)производная категория квазикогерентных пучков кручения на Y ("полупроизводная" -- значит копроизводная вдоль X и обычная производная вдоль слоев морфизма Y → X);
- полу(контра)производная категория контрагерентных копучков контрамодулей на Y;
- эквивалентность этих двух полупроизводных категорий, зависящая (как и последующие два пункта) от выбора дуализирующего комплекса на X;
- двусторонний производный функтор полутензорного произведения квазикогерентных пучков кручения на Y ("полутензорного" -- значит котензорного (т.е., !-тензорного) произведения вдоль X и обычного тензорного (*-тензорного) вдоль слоев);
- двусторонний производный функтор полугомоморфизмов из квазикогерентных пучков кручения в контрагерентные копучки контрамодулей на Y.
В этом контексте, полубесконечная гомологическая алгебра ассоциативных алгебраических структур (таких, как полуобертывающая полуалгебра тейтовской алгебры Ли, типа алгебры Вирасоро или Каца-Муди, и т.п.) превращается в частный случай нарисованной выше картины, рассматриваемой в рамках некоммутативной алгебраической геометрии.
Пространством X в этой ситуации будет такой стэк -- фактор точки по действию проалгебраической группы, соответствующей положительной части нашей Вирасоро. А (не вполне корректно определенным, т.к. геометрия некоммутативная, но в грубом приближении) слоем морфизма Y → X будет некоммутативная аффинная схема -- спектр обертывающей алгебры (несуществующей) факторалгебры Вирасоро по ее положительной части (т.е., совсем грубо, обертывающей алгебры неположительной подалгебры в Вирасоро). Скажем, четвертый пункт в перечне выше будет в этой ситуации полубесконечными гомологиями этой Вирасоро (а пятый -- полубесконечными когомологиями, а третий -- соответствием между комплексами представлений на дополнительных уровнях, а первый -- полупроизводной категорией категории O).
В описанной ситуации с алгеброй Ли как бы отсутствует инд-измерение (есть только стэковое -- хотя я не уверен, что в некоммутативной геометрии грань между ними так уж отчетлива -- наверное, можно и на проалгебраическую группу как на инд-нульмерную некоммутативную инд-схему посмотреть, с неприводимыми представлениями в роли точек), и дуализирующий комплекс банален. Но, вообще говоря, все эти ингредиенты там могут быть. Скажем, если сделать структуру тейтовской алгебры Ли зависящей от параметров, а параметры заставить пробегать какое-нибудь особое алгебраическое многообразие, дуализирующий комплекс как раз понадобится.
P.S. Собственно, что во всем этом нового, по сравнению с тем, что написано в полубесконечной монографии? Возможность использования контрагерентных копучков для глобализации контрамодулей на неаффинные схемы -- да. Но помимо этого, еще и такое замечание (восходящее к Иенгару-Краузе, Нееману-Мурфету и т.д.)
В полубесконечной книжке рассматривалась "трехэтажная" ситуация с базовым некоммутативным кольцом A, над ним кокольцом C, над ним полуалгеброй S. Кольцо A должно было иметь конечную гомологическую размерность, без этого ничего не работало. В этом смысле говорилось, что "нулевой этаж у нас небольшой (конечной высоты), первый и второй полноразмерные (бесконечные)".
Теперь можно считать более-менее установленным, что нулевой этаж можно сделать намного выше, если включить в рассмотрение дуализирующий комплекс для кольца А (в некоммутативной ситуации -- вообще говоря, связывающий кольцо A с другим некоммутативным кольцом B). В полной общности это, конечно, еще не проработано и там могут быть трудности (например, с существованием резольвент), но ряд частных случаев вполне себе прописаны.
"Размер" колец с дуализирующими комплексами, конечно, тоже где-то там ограничен, но все же их разнообразие гораздо больше, чем просто колец конечной гомологической размерности.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
Совсем наивные вопросы об алгебраической геометрии
Date: 2021-06-24 08:37 pm (UTC)Не знаю, прочитали ли вы мое сообщение в ЛС. Очень хотелось бы от вас услышать ответы на совсем наивные вопросы об алгебраической геометрии. Буду благодарен, если сообщите мне их. Может быть напишите об этом в отдельном посте. Думаю, что у вас есть своя оригинальная точка зрения по этой теме.
1) В математике есть сложные области с очень дорогим входным билетом. Обычно считается, что одна из таких областей --- алгебраическая геометрия. Что тогда входит в стоимость входного билета в эту область?
2) Чем занимается классическая алгебраическая геометрия с её истоков? Как я понимаю -- это нахождение решений полиномиальных уравнений и систем таких уравнений с помощью геометрии, (точнее, с помощью введения в предмет рассмотрения геометрических объектов)? Например, возьмем геометричекий объект --- плоскость или двумерную сферу. Тогда, все точки множества решений (если оно существует) любого полиномиального уравнения от двух переменных лежат на каких-нибудь кривых, которые можно нарисовать на двумерной сфере. Теперь остается каждому семейству уравнений сопоставить некоторые кривые. Правильно я понимаю?
3) Если исходить из содержания пункта (2), то чем сейчас занимается современная алгебраическая геометрия и в том числе полубесконечная алгебраическая геометрия? Это развитие идей из пункта (2), какое развитие, как бы вы это объяснили простыми словами?
RE: Совсем наивные вопросы об алгебраической геометрии
Date: 2021-06-24 09:42 pm (UTC)При наличии необходимых способностей — ну, это надо очень интенсивно учиться. Не "учиться в школе" и не "учиться в университете" и не "учиться на мехмате", а учиться математике. Довольно долго, лет 5-7 примерно проходит от овладения понятием математического доказательства до первых научных результатов на хорошем уровне.
2) Нет, скорее неправильно. Алгебраическая геометрия не занимается нахождением решений полиномиальных уравнений и систем полиномиальных уравнений. Она изучает геометрию множеств всех решений систем полиномиальных уравнений. То есть, алгебраическая геомерия изучает сами эти кривые, поверхности и т.д., о которых вы пишете. Так же, как школьная геометрия изучает треугольники и окружности, параллелепипеды и тетраэдры — алгебраическая геометрия изучает геометрические формы, задаваемые как множества решений систем полиномиальных уравнений.
Я не знаю, кстати, откуда взялась в ваших представлениях "двумерная сфера". Если имеется в виду проективная плоскость, то она не является сферой.
3) Я не взялся бы объяснить это простыми словами. Математика — искусство для посвященных, и ничего уж тут не поделаешь. Я и сам не стал бы приставать к специалистам по далеким от меня областям математики с просьбами объяснить, чем занимается современный гармонический анализ, современная теория динамических систем, современная теория дифференциальных уравнений в частных производных и т.д. Я понимаю, что мне не дано этого понимать сколько-нибудь адекватным образом. Если бы я действительно захотел это понять, мне пришлось бы приложить очень много усилий, выходящих далеко за рамки задавания вопросов ЖЖ-юзерам.
Более того, я и сам не знаю по-настоящему, чем занимается современная алгебраическая геометрия. Я гомологический алгебраист, а не алгебраический геометр. Мои интересы пересекают ряд областей алгебраической части математики, в том числе алгебраическую геометрию, по которой я написал несколько работ — но это не значит, что я разбираюсь в современной алгебраической геометрии. С основаниями современной алгебраической геометрии я неплохо знаком в определенных пределах, что позволяет мне работать в этой области, но не более того.
RE: Совсем наивные вопросы об алгебраической геометрии
Date: 2021-06-26 09:04 am (UTC)"Генетические мутанты" — интересный случай. Я отчасти поддерживаю эту теорию. Действительно, немаловажная часть — некоторый BIOS, по-видимому, программируется там Наверху и содержится в генетическом коде или геноме человека. Но любой человек состоит как бы из двух частей — прошивки и железа. На самом деле частей больше, так как прошивка разбивается на несколько уровней. Каждый уровень можно представить в виде некоторых пространств со своей структурой. Так вот тут интересно, что и в каких отношениях (внутри- и междууровневых) прошивается Там. И еще вот что. Железо в принципе не нужно. Однако оно играет важную роль для диагностики ошибок — багов такого "софта". Дело идет к тому, чтобы отказаться вообще от железа, как и было Наверху запланировано. Для этого необходимо профикситься определенному числу ошибок на определенном количестве железа. Что-то вроде "обучения с учителем" в нейросети.
Про сферу я подумал потому что "род поверхности" у плоскости и сферы совпадают. Поэтому подумал, что некоторые топологические характеристики связанные с родом должны совпадать. Например, эйлерова характеристика конечного клеточного комплекса размещенного на сфере и плоскости. Может быть и для кривых какие-то соотношения будут совпадать.
По третьему поинту я просто поинтересовался, почему бы и нет. Исходя еще из первого поинта не всем же дано понимать то, что другие понимают. Но все-таки думаю, что в каком-то смысле дано. Я имею ввиду про всякие упрощенные интерпретации для непрофессионалов. Ну смогли же, например, популяризовать гипотезу Пуанкаре. Конечно, она была какое-то время "тайным" знанием, но потом, благодаря хорошо известному математику, уже теорема вышла в массы. Причем популяризацией занимались некоторые математики. Гротендик свои "Урожаи и посевы" не только для коллег писал.