![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЧтение работ про произведения Масси троек/n-ок элементов первой степени в когомологиях Галуа
http://arxiv.org/abs/1210.4964
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.06.006
http://arxiv.org/abs/1403.4586
в свете моих старинных размышлений http://posic.livejournal.com/118138.html (вряд ли содержавших много существенно новых идей уже по состоянию на 2003 год, а тем более сейчас; но все же) наводит на следующие выводы.
Пусть E -- поле, и G → H → K -- сюръективные гомоморфизмы проконечных групп. Основной задачей некоммутативной теории Куммера является: можно ли для любого поля F, содержащего E, утверждать, что любой непрерывный гомоморфизм из абсолютной группы Галуа GF в группу K, который можно поднять до гомоморфизма в группу H, можно также поднять до гомоморфизма в группу G (возможно, несовместимым с заданным подъемом в H, но образующим только коммутативную диаграмму гомоморфизмов в группу K, способом)?
Например, обыкновенная (коммутативная) теория Куммера утверждает, что если поле F содержит все lN-корни из единицы, то всякий гомоморфизм из GF в циклическую группу вычетов Z/ln можно поднять до гомоморфизма в l-адическую аддитивную группу Zl. В этом примере группы H и K совпадают, но в связи с вопросом о занулении произведений Масси классов первых когомологий интересны примеры, когда все три группы различны (и являются некоторыми конечными l-группами строго верхнетреугольных матриц над Z/ln).
Будем обсуждать, для простоты, случай, когда группы G, H и K конечны. (Уни)версальным алгебраическим торсором для группы G над полем E называется алгебраический G-торсор (т.е., конечный этальный морфизм Галуа с группой Галуа G) алгебраических многообразий над E, такой что всякий алгебраический G-торсор (т.е., гомоморфизм GF → G) над полем F, содержащим E, происходит из некоторой F-точки на базовом многообразии нашего конечного этального морфизма. Версальный алгебраический G-торсор над E можно построить, выбрав точное линейное представление G над E, выкинув из пространства представления инвариантный набор гиперплоскостей, содержащий точки с нетривиальным стабилизатором, и профакторизовав по действию группы (доказательство версальности основано на теореме Гильберта 90 для GL; см. по ссылкам выше).
В статьях по ссылкам вопрос о существовании подъемов обсуждается следующим образом. Задавшись фиксированным отображением GF → K, авторы строят, исходя из версальных торсоров для групп K и G над полем E и соответствующей F-точки на первом из них, G-торсор, F-точки которого задают в точности все гомоморфизмы GF → G, поднимающие данный гомоморфизм в K. Получается многообразие над F, имеющее F-точку тогда и только тогда, когда задача подъема разрешима (называется splitting variety). Дальше можно доказывать разрешимость некоторых задач подъема для числовых полей, пользуясь локально-глобальными принципами и сведением к локальным полям, или даже, иногда, для произвольных полей, предъявляя искомую точку явными формулами.
Я бы (следуя своим идеям сентября-декабря 2003 года, в ЖЖ по ссылке выше) попробовал подойти проще. Рассмотрим версальный торсор для группы H над полем E, и редуцируем его до K-торсора (профакторизуем тотальное пространство по действию ядра гомоморфизма групп H→K). Если можно предъявить G-торсор над тем же базовым многообразием, редукцией которого является полученный таким образом K-торсор, основная задача некоммутативной теории Куммера для групп G → H → K разрешима над полем E. В построении такого G-торсора, возможно, и заключаются "явные формулы" из последней фразы предыдущего абзаца.
P.S.: см. также предыдущие постинги про операции Масси и проч. (с которых теперь, за прошествием времени, снят замок)
http://posic.livejournal.com/1076714.html
http://posic.livejournal.com/1077017.html
http://posic.livejournal.com/1080700.html
и далее pdf-файл письма по ссылке.
http://arxiv.org/abs/1210.4964
http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2014.06.006
http://arxiv.org/abs/1403.4586
в свете моих старинных размышлений http://posic.livejournal.com/118138.html (вряд ли содержавших много существенно новых идей уже по состоянию на 2003 год, а тем более сейчас; но все же) наводит на следующие выводы.
Пусть E -- поле, и G → H → K -- сюръективные гомоморфизмы проконечных групп. Основной задачей некоммутативной теории Куммера является: можно ли для любого поля F, содержащего E, утверждать, что любой непрерывный гомоморфизм из абсолютной группы Галуа GF в группу K, который можно поднять до гомоморфизма в группу H, можно также поднять до гомоморфизма в группу G (возможно, несовместимым с заданным подъемом в H, но образующим только коммутативную диаграмму гомоморфизмов в группу K, способом)?
Например, обыкновенная (коммутативная) теория Куммера утверждает, что если поле F содержит все lN-корни из единицы, то всякий гомоморфизм из GF в циклическую группу вычетов Z/ln можно поднять до гомоморфизма в l-адическую аддитивную группу Zl. В этом примере группы H и K совпадают, но в связи с вопросом о занулении произведений Масси классов первых когомологий интересны примеры, когда все три группы различны (и являются некоторыми конечными l-группами строго верхнетреугольных матриц над Z/ln).
Будем обсуждать, для простоты, случай, когда группы G, H и K конечны. (Уни)версальным алгебраическим торсором для группы G над полем E называется алгебраический G-торсор (т.е., конечный этальный морфизм Галуа с группой Галуа G) алгебраических многообразий над E, такой что всякий алгебраический G-торсор (т.е., гомоморфизм GF → G) над полем F, содержащим E, происходит из некоторой F-точки на базовом многообразии нашего конечного этального морфизма. Версальный алгебраический G-торсор над E можно построить, выбрав точное линейное представление G над E, выкинув из пространства представления инвариантный набор гиперплоскостей, содержащий точки с нетривиальным стабилизатором, и профакторизовав по действию группы (доказательство версальности основано на теореме Гильберта 90 для GL; см. по ссылкам выше).
В статьях по ссылкам вопрос о существовании подъемов обсуждается следующим образом. Задавшись фиксированным отображением GF → K, авторы строят, исходя из версальных торсоров для групп K и G над полем E и соответствующей F-точки на первом из них, G-торсор, F-точки которого задают в точности все гомоморфизмы GF → G, поднимающие данный гомоморфизм в K. Получается многообразие над F, имеющее F-точку тогда и только тогда, когда задача подъема разрешима (называется splitting variety). Дальше можно доказывать разрешимость некоторых задач подъема для числовых полей, пользуясь локально-глобальными принципами и сведением к локальным полям, или даже, иногда, для произвольных полей, предъявляя искомую точку явными формулами.
Я бы (следуя своим идеям сентября-декабря 2003 года, в ЖЖ по ссылке выше) попробовал подойти проще. Рассмотрим версальный торсор для группы H над полем E, и редуцируем его до K-торсора (профакторизуем тотальное пространство по действию ядра гомоморфизма групп H→K). Если можно предъявить G-торсор над тем же базовым многообразием, редукцией которого является полученный таким образом K-торсор, основная задача некоммутативной теории Куммера для групп G → H → K разрешима над полем E. В построении такого G-торсора, возможно, и заключаются "явные формулы" из последней фразы предыдущего абзаца.
P.S.: см. также предыдущие постинги про операции Масси и проч. (с которых теперь, за прошествием времени, снят замок)
http://posic.livejournal.com/1076714.html
http://posic.livejournal.com/1077017.html
http://posic.livejournal.com/1080700.html
и далее pdf-файл письма по ссылке.
