Вопрос про кофибрантные DG-алгебры
Jan. 19th, 2009 01:09 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВерно ли, что для любой кофибрантной DG-алгебры (неаугментированной, с единицей) производная категория DG-модулей совпадает с копроизводной = контрапроизводной категорией DG-модулей? (Обратное неверно, конечно.)
Update: Доказательство могло бы выглядеть примерно так. Пусть A -- свободная (если забыть дифференциал) DG-алгебра с фильтрацией на пространстве образующих, какую полагается иметь "элементарной" кофибрантной DG-алгебре. Пусть C+ -- пространство образующих A, тогда на C+ есть структура слабой A∞-коалгебры (без единицы), в определенном смысле конильпотентной. Пусть С = k ⊕ C+ -- соответствующая коаугментированная слабая A∞-коалгебра. Пусть M -- DG-модуль над A. Тогда нужно показать, что
1. На тензорном произведении A⊗C⊗M есть структура свободного (если забыть дифференциал) DG-модуля над A, причем когда M ацикличен, A⊗C⊗M коацикличен и, следовательно, даже стягиваем. Здесь надо использовать конильпонетность C (т.е., фильтрацию на С = образующих A), профильтровав A⊗C⊗M фильтрацией, индуцированной фильтрацией на С.
2. Для любого DG-модуля M над A имеется естественный морфизм DG-модулей A⊗C⊗M → M с коацикличным конусом. Тут надо использовать разложение в прямую сумму С = k ⊕ C+, представив явно искомый конус как тотальный DG-модуль точной тройки DG-модулей или что-то близкое к тому.
Особый интерес представляет п.2, который, предположительно, должен допускать обобщение на случай CDG-алгебры A и некоаугментированной CDG-коалгебры (если не слабой A∞-коалгебры) C. Это был бы ключевой шаг доказательства эквивалентности копроизводных = контрапроизводных категорий, связанных с некоаугментированной CDG-коалгеброй С и ее кобар-конструкцией -- неаугментированной свободной (если забыть дифференциал) CDG-алгеброй A.
Update: Доказательство могло бы выглядеть примерно так. Пусть A -- свободная (если забыть дифференциал) DG-алгебра с фильтрацией на пространстве образующих, какую полагается иметь "элементарной" кофибрантной DG-алгебре. Пусть C+ -- пространство образующих A, тогда на C+ есть структура слабой A∞-коалгебры (без единицы), в определенном смысле конильпотентной. Пусть С = k ⊕ C+ -- соответствующая коаугментированная слабая A∞-коалгебра. Пусть M -- DG-модуль над A. Тогда нужно показать, что
1. На тензорном произведении A⊗C⊗M есть структура свободного (если забыть дифференциал) DG-модуля над A, причем когда M ацикличен, A⊗C⊗M коацикличен и, следовательно, даже стягиваем. Здесь надо использовать конильпонетность C (т.е., фильтрацию на С = образующих A), профильтровав A⊗C⊗M фильтрацией, индуцированной фильтрацией на С.
2. Для любого DG-модуля M над A имеется естественный морфизм DG-модулей A⊗C⊗M → M с коацикличным конусом. Тут надо использовать разложение в прямую сумму С = k ⊕ C+, представив явно искомый конус как тотальный DG-модуль точной тройки DG-модулей или что-то близкое к тому.
Особый интерес представляет п.2, который, предположительно, должен допускать обобщение на случай CDG-алгебры A и некоаугментированной CDG-коалгебры (если не слабой A∞-коалгебры) C. Это был бы ключевой шаг доказательства эквивалентности копроизводных = контрапроизводных категорий, связанных с некоаугментированной CDG-коалгеброй С и ее кобар-конструкцией -- неаугментированной свободной (если забыть дифференциал) CDG-алгеброй A.
