posic

Здесь и в предыдущем постинге речь идет о двух "неправильных" дифференциальных производных функторах. Правильные функторы суть Tor^I и Cotor^II, определение которых не представляет никакой трудности, а хорошие свойства очевидны.

Более того, понятно, что при необходимости иметь дело с функтором Cotor первого рода или функтором Tor второго рода лучше всего просто перейти к провекторным пространствам или проабелевым группам, после чего роли алгебр и коалгебр меняются местами. Для того, чтобы это работало, может быть нужно наложить условия на градуировки (не всякая градуированная алгебра является градуированной алгеброй в категории провекторных пространств -- градуировка должна быть ограничена сверху или снизу), но эти условия как раз выполнены в классических примерах (спектральная последовательность Эйленберга-Мура) и упоминаются в классических работах.

Тем не менее, для полноты картины можно рассмотреть и "неправильные" Tor^II и Cotor^I; первый определен по ссылке выше, а определение второго следует ниже. Заодно обсуждается понятие A_∞-коалгебры.

Пусть V -- градуированное векторное пространство. Обозначим через F(V) градуированное пополнение свободной градуированной алгебры, порожденной V, по идеалу аугментации (т.е. просто градуированное прямое произведение всех тензорных степеней V). Тогда F(V) -- топологическая градуированная алгебра. Для любого градуированного векторного пространства U, обозначим через F^r(U,V) топологический свободный градуированный правый модуль над F(V), порожденный U (т.е. просто градуированное прямое произведение тензорных произведений U на тензорные степени V). Аналогично, пусть F^l(V,W) обозначает топологический свободный градуированный левый модуль над F(V), порожденный градуированным векторным пространством W.

A_∞-коалгеброй (в широком смысле слова) C называется градуированное векторное пространство, такое что алгебра F(C[-1]) снабжена непрерывным нечетным дифференцированием степени 1, сохраняющим идеал аугментации. Для нашей конструкции функтора Cotor^I,C несущественно, подразумевается ли, что C должна быть в том или ином смысле коалгеброй с коединицей или без коединицы; конструкция одинаково хороша и осмысленна в обоих случаях. Правый A_∞-комодуль (в широком смысле слова) N над C -- это градуированное векторное пространство, такое что модуль F^r(N,C[-1]) снабжен непрерывным нечетным дифференцированием степени 1, согласованным с дифференцированием на F(C[-1]). Аналогично определяются левые A_∞-комодули M над C в терминах дифференцирований на F^l(C[-1],M). A_∞-морфизмы A_∞-коалгебр и комодулей суть просто непрерывные гомоморфизмы топологических градуированных дифференциальных алгебр и модулей.

Топологическое тензорное произведение F^r(N,C[-1]) и F^l(C[-1],M) над F(C[-1]) дает комплекс, вычисляющий Cotor^I,C(N,M), по определению. Таким образом, Cotor^I,C есть функтор на декартовом произведении гомотопических категорий левых и правых A_∞-комодулей над C. Из стандартных результатов о пределах и спектральных последовательностях следует, что функтор Cotor^I переводит квазиизоморфизмы A_∞-коалгебр и комодулей в изоморфизмы когомологий. По обычной DG-коалгебре C очевидным образом строится структура A_∞-коалгебры (пополнение кобар-конструкции); по DG-комодулям N и М строятся A_∞-комодули. Таким образом функтор Cotor^I,C(N,M) определен для DG-коалгебр и DG-комодулей. Он является функтором на декартовом произведении производных категорий DG-комодулей -- ср. http://posic.livejournal.com/243739.html -- но можно ли его интерпретировать как производный функтор на этих производных категориях, непонятно.

Напоследок отметим, что A_∞-контрамодули над C должны определяться в терминах косвободных топологических градуированных модулей над F(C[-1]). Что касается структур A_∞-коалгебр и комодулей в узком смысле слова, то они суть дифференциалы на непополненных свободных градуированных алгебрах и модулях.