Точные DG-категории
Feb. 10th, 2009 01:38 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЕсть DG-категории, есть точные категории, а есть еще точные DG-категории. На самом деле, точные DG-категории нужны для того, чтобы сопоставлять им производные категории второго рода, и доказывать обычные свойства этих производных категорий в максимальной общности.
Пусть D -- DG-категория, пусть D# -- категория, морфизмы в которой есть морфизмы степени 0 в D (не обязательно замкнутые), и пусть D### -- идемпотентное (карубиево) замыкание D#. Если D -- категория каких-нибудь (C)DG-модулей над (C)DG-кольцом B, то D### -- категория градуированных модулей (без дифференциалов) над B. Нас будет интересовать связь структур точной категории на D### и на категории Z^0D замкнутых морфизмов степени 0 в D.
DG-категория D называется точной, если на D### задана структура точной категории со следующими свойствами. Пусть X->Y -- морфизм в Z^0D, являющийся допустимым мономорфизмом в D###. Тогда должен существовать морфизм Y->Z в Z^0D, такой что X->Y->Z -- точная тройка в D### (т.е. морфизм Y->Z является ядром морфизма X->Y в D###). Аналогично для допустимых эпиморфизмов. Если эти условия выполнены, на Z^0D имеется структура точной категории, в которой тройка точна тогда и только тогда, когда она точна в D###.
Дальше можно предположить наличие в D конусов и сдвигов, влекущее структуру триангулированной категории на гомотопической категории H^0D, и рассмотреть класс всех объектов D, являющихся тотальными объектами (свертками) точных троек в Z^0D. Предполагая существование произвольных прямых сумм в D и замкнутость относительно прямых сумм класса точных троек в D###, можно определить обычным образом коацикличные объекты в H^0D (как замыкание сверток точных троек, определенных выше, относительно конусов и бесконечных прямых сумм) и копроизводную категорию D (как локализацию H^0D по толстой подкатегории коацикличных объектов).
Небольшое продолжение следует.
Пусть D -- DG-категория, пусть D# -- категория, морфизмы в которой есть морфизмы степени 0 в D (не обязательно замкнутые), и пусть D### -- идемпотентное (карубиево) замыкание D#. Если D -- категория каких-нибудь (C)DG-модулей над (C)DG-кольцом B, то D### -- категория градуированных модулей (без дифференциалов) над B. Нас будет интересовать связь структур точной категории на D### и на категории Z^0D замкнутых морфизмов степени 0 в D.
DG-категория D называется точной, если на D### задана структура точной категории со следующими свойствами. Пусть X->Y -- морфизм в Z^0D, являющийся допустимым мономорфизмом в D###. Тогда должен существовать морфизм Y->Z в Z^0D, такой что X->Y->Z -- точная тройка в D### (т.е. морфизм Y->Z является ядром морфизма X->Y в D###). Аналогично для допустимых эпиморфизмов. Если эти условия выполнены, на Z^0D имеется структура точной категории, в которой тройка точна тогда и только тогда, когда она точна в D###.
Дальше можно предположить наличие в D конусов и сдвигов, влекущее структуру триангулированной категории на гомотопической категории H^0D, и рассмотреть класс всех объектов D, являющихся тотальными объектами (свертками) точных троек в Z^0D. Предполагая существование произвольных прямых сумм в D и замкнутость относительно прямых сумм класса точных троек в D###, можно определить обычным образом коацикличные объекты в H^0D (как замыкание сверток точных троек, определенных выше, относительно конусов и бесконечных прямых сумм) и копроизводную категорию D (как локализацию H^0D по толстой подкатегории коацикличных объектов).
Небольшое продолжение следует.
