Точные DG-категории - 3
Feb. 14th, 2009 10:05 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ предыдущих двух постингах на эту тему -- http://posic.livejournal.com/267121.html и http://posic.livejournal.com/266292.html -- обнаружились существенные ошибки; я не буду их удалять или редактировать, но уберу под кат, с нынешним предостережением, что воспринимать их буквально нельзя. Идея там, конечно, правильная, но определение категорий D## и D### неправильное. Дело в том, что если B -- CDG-кольцо и M -- градуированный модуль (без дифференциала) над B, то CDG-модуль над B, свободно порожденный M, рассмотренный как градуированный модуль (без дифференциала) над B, вовсе не является прямой суммой M и сдвига M, как я думал. Там возникает нетривиальное расширение, которое тривиализуется в случае, когда M допускает структуру CDG-модуля над B.
Задача, которую призвано решать определение категории D##, проста: восстановить категорию градуированных модулей над B по категории CDG-модулей над B. Правильное определение вот какое: пусть D -- DG-категория с конусами и сдвигами. Тогда объекты D## суть объекты D, снабженные стягивающей гомотопией, равной нулю в квадрате. Морфизмы в D## суть замкнутые морфизмы в D, коммутирующие с заданными стягивающими гомотопиями. Функтор Z^0D -> D##, определенный правилом X -> cone(id_X)[-1], естественным образом факторизуется через естественный функтор D -> D#; получающийся функтор D# -> D## вполне строгий. Функторы D## -> Z^0D, сопряженные к функтору Z^0D -> D## слева и справа, задаются формулами G^+: (X,t) -> X и G^-: (X,t) -> X[1], соответственно, где t -- наша стягивающая гомотопия. Все функторы выше сохраняют бесконечные прямые суммы и произведения.
DG-категория D называется точной, если на D## задана структура точной категории со следующими свойствами. Во-первых, пусть X->Y -- морфизм в Z^0D, являющийся допустимым мономорфизмом в D##. Тогда должен существовать морфизм Y->Z в Z^0D, такой что X->Y->Z -- точная тройка в D## (т.е. морфизм Y->Z является ядром морфизма X->Y в D##). Аналогично для допустимых эпиморфизмов. Во-вторых, для любого объекта M в D## тройка M -> G^+(M)# -> M[-1] должна быть точной. Если эти условия выполнены, на Z^0D имеется структура точной категории, в которой тройка точна тогда и только тогда, когда она точна в D##. При этом функторы G^+ и G^- точны.
Вообще-то достаточно уже одной только структуры точной категории на Z^0D, чтобы можно было рассмотреть класс всех объектов в D, являющихся (свертками) точных троек в Z^0D. Предполагая существование произвольных прямых сумм в D и замкнутость относительно прямых сумм класса точных троек в Z^0D, можно определить обычным образом коацикличные объекты в H^0D (как замыкание сверток точных троек, определенных выше, относительно конусов и бесконечных прямых сумм) и копроизводную категорию D (как локализацию H^0D по толстой подкатегории коацикличных объектов).
Мы будем все же предполагать, что и класс точных троек в D## замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Предположим теперь, что в точной категории D## достаточно много инъективных (относительно точной структуры) объектов и класс инъективных объектов в D## замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Тогда полная подкатегория H^0D, состоящая из объектов, инъективных в D##, эквивалентно отображается в копроизводную категорию D. Доказательство стандартное.
Далее, если в точной категории D## достаточно много инъективных объектов и ее гомологическая размерность (как точной категории) конечна, то (1) полная подкатегория в H^0D, состоящая из D##-инъективных объектов, эквивалентна копроизводной категории D, и (2) толстая подкатегория коацикличных объектов в H^0D совпадает с триангулированной подкатегорией объектов, которые можно получить из сверток Z^0D-точных троек объектов D с помощью конусов (другими словами, последняя замкнута относительно бесконечных прямых сумм).
Можно ли доказать утверждение (2), не пользуясь предположением о существовании инъективных объектов в D##, а только конечностью гомологической размерности последней?
Задача, которую призвано решать определение категории D##, проста: восстановить категорию градуированных модулей над B по категории CDG-модулей над B. Правильное определение вот какое: пусть D -- DG-категория с конусами и сдвигами. Тогда объекты D## суть объекты D, снабженные стягивающей гомотопией, равной нулю в квадрате. Морфизмы в D## суть замкнутые морфизмы в D, коммутирующие с заданными стягивающими гомотопиями. Функтор Z^0D -> D##, определенный правилом X -> cone(id_X)[-1], естественным образом факторизуется через естественный функтор D -> D#; получающийся функтор D# -> D## вполне строгий. Функторы D## -> Z^0D, сопряженные к функтору Z^0D -> D## слева и справа, задаются формулами G^+: (X,t) -> X и G^-: (X,t) -> X[1], соответственно, где t -- наша стягивающая гомотопия. Все функторы выше сохраняют бесконечные прямые суммы и произведения.
DG-категория D называется точной, если на D## задана структура точной категории со следующими свойствами. Во-первых, пусть X->Y -- морфизм в Z^0D, являющийся допустимым мономорфизмом в D##. Тогда должен существовать морфизм Y->Z в Z^0D, такой что X->Y->Z -- точная тройка в D## (т.е. морфизм Y->Z является ядром морфизма X->Y в D##). Аналогично для допустимых эпиморфизмов. Во-вторых, для любого объекта M в D## тройка M -> G^+(M)# -> M[-1] должна быть точной. Если эти условия выполнены, на Z^0D имеется структура точной категории, в которой тройка точна тогда и только тогда, когда она точна в D##. При этом функторы G^+ и G^- точны.
Вообще-то достаточно уже одной только структуры точной категории на Z^0D, чтобы можно было рассмотреть класс всех объектов в D, являющихся (свертками) точных троек в Z^0D. Предполагая существование произвольных прямых сумм в D и замкнутость относительно прямых сумм класса точных троек в Z^0D, можно определить обычным образом коацикличные объекты в H^0D (как замыкание сверток точных троек, определенных выше, относительно конусов и бесконечных прямых сумм) и копроизводную категорию D (как локализацию H^0D по толстой подкатегории коацикличных объектов).
Мы будем все же предполагать, что и класс точных троек в D## замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Предположим теперь, что в точной категории D## достаточно много инъективных (относительно точной структуры) объектов и класс инъективных объектов в D## замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Тогда полная подкатегория H^0D, состоящая из объектов, инъективных в D##, эквивалентно отображается в копроизводную категорию D. Доказательство стандартное.
Далее, если в точной категории D## достаточно много инъективных объектов и ее гомологическая размерность (как точной категории) конечна, то (1) полная подкатегория в H^0D, состоящая из D##-инъективных объектов, эквивалентна копроизводной категории D, и (2) толстая подкатегория коацикличных объектов в H^0D совпадает с триангулированной подкатегорией объектов, которые можно получить из сверток Z^0D-точных троек объектов D с помощью конусов (другими словами, последняя замкнута относительно бесконечных прямых сумм).
Можно ли доказать утверждение (2), не пользуясь предположением о существовании инъективных объектов в D##, а только конечностью гомологической размерности последней?
