Точные DG-категории - 2
Feb. 11th, 2009 01:27 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение этого -- http://posic.livejournal.com/266292.html
Для любой DG-категории D с конусами и сдвигами тавтологический функтор Z^0D -> D# имеет левый и правый сопряженные функторы, которые отличаются один от другого сдвигом на [1]. На уровне объектов, эти функторы задаются формулами X -> cone(id_X)[-1] и X -> cone(id_X), соответственно. Обозначим через D## максимальную полную подкатегорию в D###, на которую можно аддитивно продолжить с D# эти сопряженные функторы. Если D -- точная DG-категория, то на D## возникает структура точной категории со свойством, что тройка точна в D## тогда и только тогда, когда она точна в D### и тогда и только тогда, когда ее образ точен в Z^0D.
Предположим теперь, что в точной категории D## достаточно много инъективных (относительно точной структуры) объектов и класс инъективных объектов замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Тогда полная подкатегория H^0D, состоящая из объектов, инъективных в D##, эквивалентно отображается в копроизводную категорию D. Доказательство стандартное.
Далее, если в точной категории D## достаточно много инъективных объектов и ее гомологическая размерность (как точной категории) конечна, то (1) полная подкатегория в H^0D, состоящая из D##-инъективных объектов, эквивалентна копроизводной категории D, и (2) толстая подкатегория коацикличных объектов в H^0D совпадает с триангулированной подкатегорией объектов, которые можно получить из сверток Z^0D-точных троек объектов D с помощью конусов (другими словами, последняя замкнута относительно бесконечных прямых сумм).
Можно ли доказать утверждение (2), не пользуясь предположением о существовании инъективных объектов в D##, а только конечностью гомологической размерности последней?
Для любой DG-категории D с конусами и сдвигами тавтологический функтор Z^0D -> D# имеет левый и правый сопряженные функторы, которые отличаются один от другого сдвигом на [1]. На уровне объектов, эти функторы задаются формулами X -> cone(id_X)[-1] и X -> cone(id_X), соответственно. Обозначим через D## максимальную полную подкатегорию в D###, на которую можно аддитивно продолжить с D# эти сопряженные функторы. Если D -- точная DG-категория, то на D## возникает структура точной категории со свойством, что тройка точна в D## тогда и только тогда, когда она точна в D### и тогда и только тогда, когда ее образ точен в Z^0D.
Предположим теперь, что в точной категории D## достаточно много инъективных (относительно точной структуры) объектов и класс инъективных объектов замкнут относительно бесконечных прямых сумм. Тогда полная подкатегория H^0D, состоящая из объектов, инъективных в D##, эквивалентно отображается в копроизводную категорию D. Доказательство стандартное.
Далее, если в точной категории D## достаточно много инъективных объектов и ее гомологическая размерность (как точной категории) конечна, то (1) полная подкатегория в H^0D, состоящая из D##-инъективных объектов, эквивалентна копроизводной категории D, и (2) толстая подкатегория коацикличных объектов в H^0D совпадает с триангулированной подкатегорией объектов, которые можно получить из сверток Z^0D-точных троек объектов D с помощью конусов (другими словами, последняя замкнута относительно бесконечных прямых сумм).
Можно ли доказать утверждение (2), не пользуясь предположением о существовании инъективных объектов в D##, а только конечностью гомологической размерности последней?
