Задача про контрамодули
Jan. 24th, 2020 10:50 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНа вид даже не задача, а скорее упражнение. Но трудное: мне решить не удается. Может быть, оно даже и неверно почему-то, не знаю.
Пусть R -- ассоциативное кольцо, F -- топология правых идеалов в R, имеющая счетную базу, и пусть R^ -- пополнение R относительно F (рассматриваемое, как обычно, в топологии проективного предела). Можно навешивать дополнительные условия по вкусу -- что F топология Габриэля, например, с базой из конечно-порожденных правых идеалов, совершенная (т.е., соответствующая плоскому слева эпиморфизму колец) и т.д. Не знаю, что из этого может быть релевантно.
Левый R-модуль D называется F-делимым, если R/I ⊗R D = 0 для всех I ∈ F. Пусть D -- F-делимый левый R-модуль, и пусть C -- левый R^-контрамодуль. Требуется доказать, что HomR(D,C) = 0.
Если бы можно было доказать это для правой топологии Габриэля, соответствующей плоскому слева эпиморфизму колец счетного типа u: R → U, то из этого следовало бы, что всякий F-делимый левый R-модуль u-h-делим (т.е., является фактормодулем левого U-модуля). Обратная импликация очевидна и не требует условия счетности.
Пусть R -- ассоциативное кольцо, F -- топология правых идеалов в R, имеющая счетную базу, и пусть R^ -- пополнение R относительно F (рассматриваемое, как обычно, в топологии проективного предела). Можно навешивать дополнительные условия по вкусу -- что F топология Габриэля, например, с базой из конечно-порожденных правых идеалов, совершенная (т.е., соответствующая плоскому слева эпиморфизму колец) и т.д. Не знаю, что из этого может быть релевантно.
Левый R-модуль D называется F-делимым, если R/I ⊗R D = 0 для всех I ∈ F. Пусть D -- F-делимый левый R-модуль, и пусть C -- левый R^-контрамодуль. Требуется доказать, что HomR(D,C) = 0.
Если бы можно было доказать это для правой топологии Габриэля, соответствующей плоскому слева эпиморфизму колец счетного типа u: R → U, то из этого следовало бы, что всякий F-делимый левый R-модуль u-h-делим (т.е., является фактормодулем левого U-модуля). Обратная импликация очевидна и не требует условия счетности.
