К предыдущему
Dec. 24th, 2019 07:11 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic- А какая задача интереснее -- про существование плоских покрытий или про несуществование проективных?
- Вообще-то, это как посмотреть. Несуществование проективных покрытий в категориях модулей -- это Басс, 1960 год. Существование плоских покрытий в категориях модулей -- это Эклоф-Трлифай и Бицан-Башир-Енокс, 2001 год. Есть разница.
- Почему же ты занимаешься этим в обратном порядке?
- Потому, что человечество с годами развивается, а я деградирую. (Шутка.)
- А на самом деле?
- На самом деле, small object argument и прочие теоретико-множественные рассуждения в локально представимых категориях по нынешним временам могут быть прозрачнее, чем классическая теория ассоциативных колец. Но дело даже не в этом.
- А в чем?
- Было бы очень круто, если бы мы умели доказывать существование плоских покрытий в категории контрамодулей над произвольным топологическим кольцом (для которого определена категория контрамодулей). Или, скажем, существование 1-строго плоских покрытий. Или покрытий объектами какого-нибудь еще из классов плоских контрамодулей, которые мы тут наопределяли. Но мы не знаем даже, совпадают все эти классы или отличаются один от другого, не говоря уже о.
- А что же написано в работе с Й.Р.?
- Там рассматриваются контрамодули над топологическими кольцами со счетной базой окрестностей нуля. Осенью 2015 года мы показали, что многие естественные определения свойства плоскости контрамодуля эквивалентны для таких топологических колец, и что все контрамодули над такими кольцами имеют плоские покрытия. Но за пределами топологических колец со счетной базой окрестностей нуля мы об этом почти ничего не знаем.
- А что происходит сейчас?
- Контрамодульное обобщение теоремы Басса. Доказательство несуществования проективных покрытий контрамодулей над топологическими кольцами, без всяких предположений счетной базы.
- То есть, за прошедшие годы...
- Да. Пока еще немногие, но некоторые не вполне тривиальные утверждения о контрамодулях над топологическими кольцами мы научились доказывать без предположения счетности базы топологии.
- Вообще-то, это как посмотреть. Несуществование проективных покрытий в категориях модулей -- это Басс, 1960 год. Существование плоских покрытий в категориях модулей -- это Эклоф-Трлифай и Бицан-Башир-Енокс, 2001 год. Есть разница.
- Почему же ты занимаешься этим в обратном порядке?
- Потому, что человечество с годами развивается, а я деградирую. (Шутка.)
- А на самом деле?
- На самом деле, small object argument и прочие теоретико-множественные рассуждения в локально представимых категориях по нынешним временам могут быть прозрачнее, чем классическая теория ассоциативных колец. Но дело даже не в этом.
- А в чем?
- Было бы очень круто, если бы мы умели доказывать существование плоских покрытий в категории контрамодулей над произвольным топологическим кольцом (для которого определена категория контрамодулей). Или, скажем, существование 1-строго плоских покрытий. Или покрытий объектами какого-нибудь еще из классов плоских контрамодулей, которые мы тут наопределяли. Но мы не знаем даже, совпадают все эти классы или отличаются один от другого, не говоря уже о.
- А что же написано в работе с Й.Р.?
- Там рассматриваются контрамодули над топологическими кольцами со счетной базой окрестностей нуля. Осенью 2015 года мы показали, что многие естественные определения свойства плоскости контрамодуля эквивалентны для таких топологических колец, и что все контрамодули над такими кольцами имеют плоские покрытия. Но за пределами топологических колец со счетной базой окрестностей нуля мы об этом почти ничего не знаем.
- А что происходит сейчас?
- Контрамодульное обобщение теоремы Басса. Доказательство несуществования проективных покрытий контрамодулей над топологическими кольцами, без всяких предположений счетной базы.
- То есть, за прошедшие годы...
- Да. Пока еще немногие, но некоторые не вполне тривиальные утверждения о контрамодулях над топологическими кольцами мы научились доказывать без предположения счетности базы топологии.
