У меня есть большой проект
Jan. 4th, 2020 04:49 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicI have a grand project. Но я не могу просто объяснить, в чем он состоит.
Конечно, можно сказать, что хотелось бы иметь абелеву категорию p-адически полных абелевых групп. Но буквально такая категория неабелева, поэтому и т.д. Все это можно объяснить, там будет ряд любопытных деталей, типа факторотделимых (quotseparated) и нефакторотделимых контрамодулей и т.д., но на grand project такое объяснение не тянет.
***
Похоже, что едва ли не единственный возможный подход -- исторический. Все начинается с искривленных DG-колец.
Ну хорошо, это не совсем исторический подход. Совсем исторически надо было бы начинать с алгебр Ли, их обертывающих, квадратичных алгебр, неоднородной квадратичной двойственности, скаляров в соотношениях и тождеств, определяющих CDG-алгебру, как результата дуализации уравнений самосогласованности.
Все это можно немножко спрямить, заменив алгебру геометрией. Связность, кривизна, комплекс де Рама неплоской связности. Вот оно, CDG-кольцо. Скрученных дифференциальных операторов добавить по вкусу.
Дальше исторический подход состоял бы в том, чтобы поставить вопрос восстановления производной категории модулей над алгеброй Ли по стандартному когомологическому комплексу и выписать ответ в виде определений копроизводных и контрапроизводных категорий.
Все это можно снова немножко спрямить, поставив более банальный вопрос о производной категории CDG-модулей. Так или иначе, мы приходим к копроизводным и контрапроизводным категориям.
Следующий шаг состоит в том, чтобы захотеть полубесконечных когомологий, полуассоциативных полуалгебр, осознать важнейшую, фундаментальную роль полупроизводных категорий в полубесконечной гомологической алгебре и прийти к философии, что от модулей надо брать производные категории, а от комодулей копроизводные.
Все это тоже можно немножко упростить -- то есть, не немножко, а даже очень сильно упростить, с потерей большей части впечатления и убедительности -- ограничившись обсуждением алгебр и коалгебр над полями вместе с функторами Tor и Cotor. Что областью определения функтора Tor является производная категория, а функтора Cotor -- копроизводная. К этому еще неплохо бы обсуждение функтора Coext добавить.
То есть, наверно все-таки лучше упрощать не до такой степени. А сформулировать производную неоднородную кошулеву двойственность в форме бар-кобар двойственности, и отметить, что в главном ее варианте берутся производные категории модулей, копроизводные -- комодулей, и контрапроизводные -- контрамодулей.
Следующий шаг состоит в том, чтобы задаться вопросом, у каких еще абелевых категорий можно или нужно рассматривать производные категории, а у каких копроизводные или контрапроизводные.
И только в ответе на этот последний вопрос мы приходим к выводу, что нам нужны контрамодули и контрагерентные копучки. Чтобы было, что подставлять в конструкцию контрапроизводной категории. То есть... просто для полноты картины!
***
Такова природа моего способа заниматься математикой. Все вырастает из стремления додумать до конца, до полной ясности технические детали конструкций и выразить ответ в эстетически привлекательной форме.
Стоит за этим стремлением что-то вроде не вполне осознанной (поначалу) веры в то, что если додумать все до конца, а потом опять и т.д., то, поднявшись на вершину или перевалив через хребет, можно попасть в прекрасный новый, доселе неизведанный мир.
Поскольку же людей, имеющих желание, время-силы и способности, чтобы вникнуть во все эти детали, очень мало -- а людей, разделяющих эту веру, наверное, еще меньше -- то мы имеем Grand Project, содержание и мотивацию которого объяснить практически невозможно почти никому.
Такова жизнь.
Конечно, можно сказать, что хотелось бы иметь абелеву категорию p-адически полных абелевых групп. Но буквально такая категория неабелева, поэтому и т.д. Все это можно объяснить, там будет ряд любопытных деталей, типа факторотделимых (quotseparated) и нефакторотделимых контрамодулей и т.д., но на grand project такое объяснение не тянет.
***
Похоже, что едва ли не единственный возможный подход -- исторический. Все начинается с искривленных DG-колец.
Ну хорошо, это не совсем исторический подход. Совсем исторически надо было бы начинать с алгебр Ли, их обертывающих, квадратичных алгебр, неоднородной квадратичной двойственности, скаляров в соотношениях и тождеств, определяющих CDG-алгебру, как результата дуализации уравнений самосогласованности.
Все это можно немножко спрямить, заменив алгебру геометрией. Связность, кривизна, комплекс де Рама неплоской связности. Вот оно, CDG-кольцо. Скрученных дифференциальных операторов добавить по вкусу.
Дальше исторический подход состоял бы в том, чтобы поставить вопрос восстановления производной категории модулей над алгеброй Ли по стандартному когомологическому комплексу и выписать ответ в виде определений копроизводных и контрапроизводных категорий.
Все это можно снова немножко спрямить, поставив более банальный вопрос о производной категории CDG-модулей. Так или иначе, мы приходим к копроизводным и контрапроизводным категориям.
Следующий шаг состоит в том, чтобы захотеть полубесконечных когомологий, полуассоциативных полуалгебр, осознать важнейшую, фундаментальную роль полупроизводных категорий в полубесконечной гомологической алгебре и прийти к философии, что от модулей надо брать производные категории, а от комодулей копроизводные.
Все это тоже можно немножко упростить -- то есть, не немножко, а даже очень сильно упростить, с потерей большей части впечатления и убедительности -- ограничившись обсуждением алгебр и коалгебр над полями вместе с функторами Tor и Cotor. Что областью определения функтора Tor является производная категория, а функтора Cotor -- копроизводная. К этому еще неплохо бы обсуждение функтора Coext добавить.
То есть, наверно все-таки лучше упрощать не до такой степени. А сформулировать производную неоднородную кошулеву двойственность в форме бар-кобар двойственности, и отметить, что в главном ее варианте берутся производные категории модулей, копроизводные -- комодулей, и контрапроизводные -- контрамодулей.
Следующий шаг состоит в том, чтобы задаться вопросом, у каких еще абелевых категорий можно или нужно рассматривать производные категории, а у каких копроизводные или контрапроизводные.
И только в ответе на этот последний вопрос мы приходим к выводу, что нам нужны контрамодули и контрагерентные копучки. Чтобы было, что подставлять в конструкцию контрапроизводной категории. То есть... просто для полноты картины!
***
Такова природа моего способа заниматься математикой. Все вырастает из стремления додумать до конца, до полной ясности технические детали конструкций и выразить ответ в эстетически привлекательной форме.
Стоит за этим стремлением что-то вроде не вполне осознанной (поначалу) веры в то, что если додумать все до конца, а потом опять и т.д., то, поднявшись на вершину или перевалив через хребет, можно попасть в прекрасный новый, доселе неизведанный мир.
Поскольку же людей, имеющих желание, время-силы и способности, чтобы вникнуть во все эти детали, очень мало -- а людей, разделяющих эту веру, наверное, еще меньше -- то мы имеем Grand Project, содержание и мотивацию которого объяснить практически невозможно почти никому.
Такова жизнь.
