![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНекоторая путаница в предыдущем постинге была вызвана тем, что в нем обсуждались две абелевы категории -- C-комодулей и С-контрамодулей, в то время как на самом деле их четыре -- левые и правые C-комодули, левые и правые контрамодули. Если правильно учесть этот момент, ситуация проясняется.
Пусть X -- стратифицированное пространство, и пусть С -- такая коалгебра, что категория пучков с конечномерными слоями (и, скажем, с унипотентной монодромией) на X эквивалентна категории конечномерных левых C-комодулей. Тогда категория копучков с конечномерными слоями, будучи попросту антиэквивалентной категории пучков с конечномерными слоями, эквивалентна категории конечномерных правых C-комодулей. Конечномерные левые комодули обычно совпадают с (или, в любом случае, ковариантно вкладываются в) конечномерные левые контрамодули. Таким образом, связь между ко/контрамодулями и (ко)пучками выглядит так:
левые C-комодули = пучки комодулей (над пополнениями фундаментальных групп стратов)
правые C-комодули = копучки комодулей
левые C-контрамодули = пучки контрамодулей
правые C-комодули = копучки контрамодулей
Предполагая, что двойственность Вердье сохраняет унипотентность монодромий (или иное аналогичное условие, на них наложенное), получаем, что ковариантная версия двойственности Вердье отождествляет производные категории пучков комодулей и копучков комодулей (а также, вероятно, пучков контрамодулей и копучков контрамодулей). Контравариантный функтор послойной дуализации отображает пучки комодулей в копучки контрамодулей (и копучки комодулей в пучки контрамодулей).
Что же касается ко-контра соответствия, то оно связывает производные категории пучков комодулей и пучков контрамодулей, а также копучков комодулей и копучков контрамодулей. В частности, если страты односвязны, то C -- конечномерная коалгебра, и разницы между C-комодулями и С-контрамодулями нет. То есть производное ко-контра соответствие оказывается автоэквивалентностью производной категории пучков. Как и для всякой конечномерной коалгебры конечной гомологической размерности, этот функтор -- не что иное, как функтор Серра на производной категории комодулей (= пучков).
Если присмотреться внимательнее к тому, как выглядит процедура склейки абелевой категории пучков по стратам, можно заметить, что там фигурирует (например, в случае комплексной прямой C, стратифицированной точкой и C*) функтор инвариантов действия монодромии. В аналогичном описании для копучков будут фигурировать коинварианты. Представляется, что брать инварианты естественно было бы у комодулей, а коинварианты -- у контрамодулей. В этом смысле пучки комодулей и копучки контрамодулей выглядят более естественными категориями, чем две остальные.
Компонуя ковариантную двойственность Вердье с ко-контра соответствием, можно получить ковариантную эквивалентность между производными категориями пучков комодулей и копучков контрамодулей. Компонуя эту эквивалентность с функтором послойной дуализации, получаем контравариантный функтор из производной категории копучков комодулей в себя. В случае односвязных стратов это будет композиция двойственности Вердье с функтором Серра. Интересно, рассматривался ли такой функтор в более общих ситуациях.
Пусть X -- стратифицированное пространство, и пусть С -- такая коалгебра, что категория пучков с конечномерными слоями (и, скажем, с унипотентной монодромией) на X эквивалентна категории конечномерных левых C-комодулей. Тогда категория копучков с конечномерными слоями, будучи попросту антиэквивалентной категории пучков с конечномерными слоями, эквивалентна категории конечномерных правых C-комодулей. Конечномерные левые комодули обычно совпадают с (или, в любом случае, ковариантно вкладываются в) конечномерные левые контрамодули. Таким образом, связь между ко/контрамодулями и (ко)пучками выглядит так:
левые C-комодули = пучки комодулей (над пополнениями фундаментальных групп стратов)
правые C-комодули = копучки комодулей
левые C-контрамодули = пучки контрамодулей
правые C-комодули = копучки контрамодулей
Предполагая, что двойственность Вердье сохраняет унипотентность монодромий (или иное аналогичное условие, на них наложенное), получаем, что ковариантная версия двойственности Вердье отождествляет производные категории пучков комодулей и копучков комодулей (а также, вероятно, пучков контрамодулей и копучков контрамодулей). Контравариантный функтор послойной дуализации отображает пучки комодулей в копучки контрамодулей (и копучки комодулей в пучки контрамодулей).
Что же касается ко-контра соответствия, то оно связывает производные категории пучков комодулей и пучков контрамодулей, а также копучков комодулей и копучков контрамодулей. В частности, если страты односвязны, то C -- конечномерная коалгебра, и разницы между C-комодулями и С-контрамодулями нет. То есть производное ко-контра соответствие оказывается автоэквивалентностью производной категории пучков. Как и для всякой конечномерной коалгебры конечной гомологической размерности, этот функтор -- не что иное, как функтор Серра на производной категории комодулей (= пучков).
Если присмотреться внимательнее к тому, как выглядит процедура склейки абелевой категории пучков по стратам, можно заметить, что там фигурирует (например, в случае комплексной прямой C, стратифицированной точкой и C*) функтор инвариантов действия монодромии. В аналогичном описании для копучков будут фигурировать коинварианты. Представляется, что брать инварианты естественно было бы у комодулей, а коинварианты -- у контрамодулей. В этом смысле пучки комодулей и копучки контрамодулей выглядят более естественными категориями, чем две остальные.
Компонуя ковариантную двойственность Вердье с ко-контра соответствием, можно получить ковариантную эквивалентность между производными категориями пучков комодулей и копучков контрамодулей. Компонуя эту эквивалентность с функтором послойной дуализации, получаем контравариантный функтор из производной категории копучков комодулей в себя. В случае односвязных стратов это будет композиция двойственности Вердье с функтором Серра. Интересно, рассматривался ли такой функтор в более общих ситуациях.
