Обратные образы контрагерентных копучков

[posic]

Как известно, в основе теории пучков лежит конструкция пучковизации предпучка. Добрая половина, если не большинство, важнейших конструкций пучков предполагают, что сначала нужно построить некий предпучок, а потом перейти к его пучковизации. Пучковизация предпучка, в свою очередь, традиционно строится в соответствующих учебниках с помощью понятия слоя предпучка в точке, определяемого как подходящий направленный прямой предел.

Граждане, получившие углубленное образование в этой области, знают, что пучковизацию можно строить и по-другому. Видимо, эта альтернативная конструкция должна играть важную роль в общей теории топологий Гротендика и т.д., поскольку существование достаточного числа точек там (насколько я понимаю) не предполагается. К этой более изощренной конструкции относится известная мантра, что "пучковизировать надо дважды". В самом деле, функтор пучковизации строится как квадрат некоторого функтора; сам этот функтор преобразует произвольные предпучки в отделимые, а отделимые предпучки -- в пучки.

Многие изучавшие теорию пучков слыхали, что "функтор пучковизации точен". На самом деле, функтор пучковизации точен, если рассматривать его как функтор из предпучков в пучки. Как функтор из предпучков в предпучки, он точен слева. Более изощренная конструкция пучковизации, использующая двойную итерацию, демонстрирует это свойство точности в явном виде: группа сечений предпучка, полученного в результате применения "квадратного корня из пучковизации", строится как направленный прямой предел по измельчающимся покрытиям ненаправленных обратных пределов, связанных с каждым фиксированным покрытием открытого множества.

В ситуации с копучками, функтор кослоя будет неким направленным обратным пределом, т.е., функтором, точным только слева. Функтор "квадратного корня из копучковизации" будет некой композицией направленных обратных и ненаправленных прямых пределов, т.е., функторов, точных с разных сторон. Проблематичность подобных конструкций с точки зрения гомологического алгебраиста очевидна.

В частности, традиционная конструкция обратного образа пучков использует как направленный прямой предел по уменьшающимся открытым множествам (аналогичный конструкции слоя), так и пучковизацию получившегося предпучка. Ввиду неточности направленных обратных пределов, пользоваться двойственным вариантом такой конструкции в общем случае не представляется возможным.

Comments

[maxmornev.livejournal.com]

Офигенно! Не знал, что есть альтернативная конструкция пучковизации (пучкования)
(причем, совершенно уверен, что чуть ли не лекцию слышал про эту конструкцию,
вместе с известной мантрой, но, не могу представить, где; может, приснилось).

Спасибо за науку!

[maxmornev.livejournal.com]

Дико извиняюсь, у меня тривиальный вопрос про конструкцию квадратного кореня
из пучковизации. Я что-то очевидное упускаю.

Пусть F --- предпучек U --- открытое множество. Правильно ли я понимаю, что
мы рассматриваем для всевозможных открытых покрытий { U_i } про-пределы
по диаграммам вида { F(U_i) -> F(U_i \cap U_j) <- F(U_j) для всех i, j}, после чего берем
инд-предел таких про-пределов по всем покрытиям { U_i }?

Если да, то непонятно, почему такая конструкция не дает сразу пучек. Отделимость
очевидна (?), но ведь и существование склеивания тоже очевидно (т.к. набор совместимых
сечений на покрытии тавтологически будет элементом одного из про-пределов, и,
значит, инд-предела).

[posic.livejournal.com]

Представьте себе, что у вас есть предпучок F на пространстве X, у которого есть покрытие открытыми множествами U и V. Имеются сечения s \in F(U) и t \in F(V). Ограничения s и t на пересечение U\cap V между собой не равны. Но у пересечения U\cap V есть покрытие открытыми множествами W' и W'', такими что s и t имеют одинаковые ограничения на W' и W''. Тогда после первой итерации конструкции у вас получится отделимый предпучок, и в частности, ограничения s и t на U\cap V станут равны между собой. И уже на второй итерации появится сечение над X, склеивающее s и t.

[maxmornev.livejournal.com]

Ага, теперь вижу: на первой итерации у нас появятся склейки, но, далеко не все нужные, потому, что появятся и новые системы совместимых сечений.

Конструкция ``квадратного корня'' фантастически красивая. Спасибо, что поделились!

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Есть ещё довольно изящная конструкция пучковизации через Omega-sets (Fourman-Scott; Higgs) (кажется, она обощается и на топологии Гротендика, но про это мало кто знает).

[posic.livejournal.com]

Трудно продраться через изложение у Формана-Скотта, но на сети обнаруживается текст Simmons "The point-free approach to sheafification", в котором, со ссылками на Формана-Скотта и Хиггса, излагается, насколько я улавливаю, в точности та же самая конструкция, о которой идет речь в моем постинге и комментах выше.

[anhinga-anhinga.livejournal.com]

Там в один приём, нет двух стадий. Устроено это следующим образом.

Есть "fuzzy equality" -- отображение в полную алгебру Гейтинга Omega, над которой (пред)пучки, симметричное и удовлетворяющее условию ( E(x,y) коньюнкция E(y,z) ) влечёт (меньше или равна в Omega) E(x,z). (Если "повернуть всё с ног на голову", то про эти обобщённые равенства можно думать, как про обобщённые расстояния, тогда это условие -- ультраметрическое неравенство.)

В частности, легко построить такую штуку по предпучку.

Дальше рассматривается, какими свойствами должны обладать функции, ассоциированные с каждым x, и отображающие y в E(x,y). У них есть простые аксиомы, выражающие интуицию, что (y mapsto E(x,y)) есть "нечёткая характеристическая функция одноэлементного множества x. Функции, удовлетворяющие этим аксиомам, называются singletons. Omega-set is complete, если для каждого singleton есть один и только один x, такой что данный singleton есть (y mapsto E(x,y)).

Пополнение получается заменой исходного пространство пространством, состоящих из singletons, и это и есть пучкование.