Обратные образы контрагерентных копучков
Oct. 1st, 2012 10:55 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКак известно, в основе теории пучков лежит конструкция пучковизации предпучка. Добрая половина, если не большинство, важнейших конструкций пучков предполагают, что сначала нужно построить некий предпучок, а потом перейти к его пучковизации. Пучковизация предпучка, в свою очередь, традиционно строится в соответствующих учебниках с помощью понятия слоя предпучка в точке, определяемого как подходящий направленный прямой предел.
Граждане, получившие углубленное образование в этой области, знают, что пучковизацию можно строить и по-другому. Видимо, эта альтернативная конструкция должна играть важную роль в общей теории топологий Гротендика и т.д., поскольку существование достаточного числа точек там (насколько я понимаю) не предполагается. К этой более изощренной конструкции относится известная мантра, что "пучковизировать надо дважды". В самом деле, функтор пучковизации строится как квадрат некоторого функтора; сам этот функтор преобразует произвольные предпучки в отделимые, а отделимые предпучки -- в пучки.
Многие изучавшие теорию пучков слыхали, что "функтор пучковизации точен". На самом деле, функтор пучковизации точен, если рассматривать его как функтор из предпучков в пучки. Как функтор из предпучков в предпучки, он точен слева. Более изощренная конструкция пучковизации, использующая двойную итерацию, демонстрирует это свойство точности в явном виде: группа сечений предпучка, полученного в результате применения "квадратного корня из пучковизации", строится как направленный прямой предел по измельчающимся покрытиям ненаправленных обратных пределов, связанных с каждым фиксированным покрытием открытого множества.
В ситуации с копучками, функтор кослоя будет неким направленным обратным пределом, т.е., функтором, точным только слева. Функтор "квадратного корня из копучковизации" будет некой композицией направленных обратных и ненаправленных прямых пределов, т.е., функторов, точных с разных сторон. Проблематичность подобных конструкций с точки зрения гомологического алгебраиста очевидна.
В частности, традиционная конструкция обратного образа пучков использует как направленный прямой предел по уменьшающимся открытым множествам (аналогичный конструкции слоя), так и пучковизацию получившегося предпучка. Ввиду неточности направленных обратных пределов, пользоваться двойственным вариантом такой конструкции в общем случае не представляется возможным.
Граждане, получившие углубленное образование в этой области, знают, что пучковизацию можно строить и по-другому. Видимо, эта альтернативная конструкция должна играть важную роль в общей теории топологий Гротендика и т.д., поскольку существование достаточного числа точек там (насколько я понимаю) не предполагается. К этой более изощренной конструкции относится известная мантра, что "пучковизировать надо дважды". В самом деле, функтор пучковизации строится как квадрат некоторого функтора; сам этот функтор преобразует произвольные предпучки в отделимые, а отделимые предпучки -- в пучки.
Многие изучавшие теорию пучков слыхали, что "функтор пучковизации точен". На самом деле, функтор пучковизации точен, если рассматривать его как функтор из предпучков в пучки. Как функтор из предпучков в предпучки, он точен слева. Более изощренная конструкция пучковизации, использующая двойную итерацию, демонстрирует это свойство точности в явном виде: группа сечений предпучка, полученного в результате применения "квадратного корня из пучковизации", строится как направленный прямой предел по измельчающимся покрытиям ненаправленных обратных пределов, связанных с каждым фиксированным покрытием открытого множества.
В ситуации с копучками, функтор кослоя будет неким направленным обратным пределом, т.е., функтором, точным только слева. Функтор "квадратного корня из копучковизации" будет некой композицией направленных обратных и ненаправленных прямых пределов, т.е., функторов, точных с разных сторон. Проблематичность подобных конструкций с точки зрения гомологического алгебраиста очевидна.
В частности, традиционная конструкция обратного образа пучков использует как направленный прямой предел по уменьшающимся открытым множествам (аналогичный конструкции слоя), так и пучковизацию получившегося предпучка. Ввиду неточности направленных обратных пределов, пользоваться двойственным вариантом такой конструкции в общем случае не представляется возможным.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2012-10-13 02:44 am (UTC)Есть "fuzzy equality" -- отображение в полную алгебру Гейтинга Omega, над которой (пред)пучки, симметричное и удовлетворяющее условию ( E(x,y) коньюнкция E(y,z) ) влечёт (меньше или равна в Omega) E(x,z). (Если "повернуть всё с ног на голову", то про эти обобщённые равенства можно думать, как про обобщённые расстояния, тогда это условие -- ультраметрическое неравенство.)
В частности, легко построить такую штуку по предпучку.
Дальше рассматривается, какими свойствами должны обладать функции, ассоциированные с каждым x, и отображающие y в E(x,y). У них есть простые аксиомы, выражающие интуицию, что (y mapsto E(x,y)) есть "нечёткая характеристическая функция одноэлементного множества x. Функции, удовлетворяющие этим аксиомам, называются singletons. Omega-set is complete, если для каждого singleton есть один и только один x, такой что данный singleton есть (y mapsto E(x,y)).
Пополнение получается заменой исходного пространство пространством, состоящих из singletons, и это и есть пучкование.