![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОставим пока в стороне известную проблему, что производная категория конструктивных пучков на фиксированной стратификации может отличаться от полной подкатегории в производной категории всех пучков, состоящей из комплексов с соответственно конструктивными когомологиями. Будем просто предполагать, что речь идет о стратификации, для которой эти две триангулированные категории совпадают.
Тогда имеются сразу две очевидных конструкции. Во-первых, есть функтор двойственности Вердье, контравариантно отображающий комплексы конструктивных пучков в другие такие же комплексы. Можно надеяться, что этот функтор в принципе допускает описание в условно-комбинаторных терминах, т.е., слой нового комплекса как-то выражается через слои исходного комплекса над тем же стратом и примыкающим к нему стратами, в терминах отображений между этими слоями, входящих в структуру пучка.
Поскольку такая конструкция контравариантна и (можно продолжать надеяться) переводит комплексы пучков с конечномерными слоями в аналогичные, ее, может быть, можно разложить в композицию функтора линейной дуализации, переводящего пучок с некоторыми слоями в копучок с двойственными слоями (или наоборот, смотря, с какой стороны) и ковариантной эквивалентности между комплексами пучков и комплексами копучков. Может быть, даже имеющей смысл для пучков и копучков бесконечномерных пространств.
Во-вторых, попробуем рассуждать чуть более формально. Рассмотрим абелеву категорию конструктивных пучков с конечныомерными слоями на фиксированной стратификации. Выберем произвольно по одной точке на каждом страте и рассмотрим "функтор слоя" со значениями в конечномерных пространствах, сопоставляющий пучку прямую сумму его слоев в выбранных точках. Получится точный консервативный функтор. Ввиду обычных результатов, наша абелева категория оказывается эквивалентной категории конечномерных комодулей над некоторой коалгеброй C над полем коэффициентов.
Будем теперь понимать под "конструктивными пучками" C-комодули, а под "конструктивными копучками" C-контрамодули. Тогда общая теорема о ко-контра соответствии доставляет эквивалентность экзотических производных категорий пучков и копучков. На самом деле, конечно, лучше начинать такую конструкцию с категории не всех конструктивных пучков с конечномерными слоями (которых слишком много), а, скажем, таких, в которых фундаментальные группы стратов действуют в слоях унипотентными операторами, что-нибудь в этом роде. Тогда на одиночном страте получится коалгебра, связанная с проунипотентным пополнением фундаментальной группы.
Тогда имеются сразу две очевидных конструкции. Во-первых, есть функтор двойственности Вердье, контравариантно отображающий комплексы конструктивных пучков в другие такие же комплексы. Можно надеяться, что этот функтор в принципе допускает описание в условно-комбинаторных терминах, т.е., слой нового комплекса как-то выражается через слои исходного комплекса над тем же стратом и примыкающим к нему стратами, в терминах отображений между этими слоями, входящих в структуру пучка.
Поскольку такая конструкция контравариантна и (можно продолжать надеяться) переводит комплексы пучков с конечномерными слоями в аналогичные, ее, может быть, можно разложить в композицию функтора линейной дуализации, переводящего пучок с некоторыми слоями в копучок с двойственными слоями (или наоборот, смотря, с какой стороны) и ковариантной эквивалентности между комплексами пучков и комплексами копучков. Может быть, даже имеющей смысл для пучков и копучков бесконечномерных пространств.
Во-вторых, попробуем рассуждать чуть более формально. Рассмотрим абелеву категорию конструктивных пучков с конечныомерными слоями на фиксированной стратификации. Выберем произвольно по одной точке на каждом страте и рассмотрим "функтор слоя" со значениями в конечномерных пространствах, сопоставляющий пучку прямую сумму его слоев в выбранных точках. Получится точный консервативный функтор. Ввиду обычных результатов, наша абелева категория оказывается эквивалентной категории конечномерных комодулей над некоторой коалгеброй C над полем коэффициентов.
Будем теперь понимать под "конструктивными пучками" C-комодули, а под "конструктивными копучками" C-контрамодули. Тогда общая теорема о ко-контра соответствии доставляет эквивалентность экзотических производных категорий пучков и копучков. На самом деле, конечно, лучше начинать такую конструкцию с категории не всех конструктивных пучков с конечномерными слоями (которых слишком много), а, скажем, таких, в которых фундаментальные группы стратов действуют в слоях унипотентными операторами, что-нибудь в этом роде. Тогда на одиночном страте получится коалгебра, связанная с проунипотентным пополнением фундаментальной группы.
