![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение http://posic.livejournal.com/839838.html и http://posic.livejournal.com/839999.html .
Лемма 1. Пусть R → S -- конечный морфизм нетеровых коммутативных колец, и пусть P -- плоский модуль кокручения над кольцом R. Тогда S⊗RP -- плоский модуль кокручения над кольцом S.
Доказательство: согласно основной теореме статьи Енокс-84 R-модуль P можно представить (например) как прямое слагаемое бесконечного произведения пополнений локальных колец точек спектра кольца R. Достаточно рассмотреть случай одного такого пополнения Rp. Тогда S⊗R Rp есть пополнение кольца S по идеалу Sp. Если qi -- простые идеалы в S, лежащие над p, то они образуют конечное множество (Мацумура Commutative ring theory упр. 9.3), пополнение S по Sp совпадает с пополнением S по произведению всех qi (поскольку системы степеней этих идеалов конфинальны, по крайней мере, после локализации по R \ p), последнее пополнение есть произведение пополнений по отдельным qi (loc. cit. теорема 8.15). По той же теореме Енокса, такие пополнения являются плоскими S-модулями кокручения.
Лемма 2. Пусть R → S -- конечный морфизм нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля. Тогда S-модуль Q является S-модулем кокручения титтк он является R-модулем кокручения.
Доказательство: часть "только тогда" -- частный случай общего результата о сохранении свойства кокручения при ограничении скаляров по любому морфизму ассоциативных колец. Чтобы доказать "тогда", отметим, что согласно Рейно-Грюзону всякий плоский S-модуль имеет конечную правую резольвенту из плоских S-модулей кокручения. Поэтому достаточно проверить, что ExtS>0(G,Q) = 0 для любого плоского S-модуля кокручения G. Из доказательства леммы 1 ясно, что G является прямым слагаемым S-модуля вида S⊗RF для некоторого плоского R-модуля кокручения F. Теперь ExtS>0(S⊗RF, Q) = ExtR>0(F,Q) = 0.
Лемма 3. Пусть R → S -- морфизм из когерентного кольца R в кольцо S, являющееся конечно представимым R-модулем в индуцированной структуре. Пусть F -- плоский R-модуль кокручения и P -- плоский R-модуль кокручения. Тогда естественный гомоморфизм S-модулей S ⊗R HomR(F,P) → HomS(S⊗RF, S⊗RP) является изоморфизмом.
Доказательство: отображение S ⊗R HomR(F,P) → HomR(F, S⊗RP) является изоморфизмом согласно следствию 1.6.3(с) из 1209.2995.
Лемма 1. Пусть R → S -- конечный морфизм нетеровых коммутативных колец, и пусть P -- плоский модуль кокручения над кольцом R. Тогда S⊗RP -- плоский модуль кокручения над кольцом S.
Доказательство: согласно основной теореме статьи Енокс-84 R-модуль P можно представить (например) как прямое слагаемое бесконечного произведения пополнений локальных колец точек спектра кольца R. Достаточно рассмотреть случай одного такого пополнения Rp. Тогда S⊗R Rp есть пополнение кольца S по идеалу Sp. Если qi -- простые идеалы в S, лежащие над p, то они образуют конечное множество (Мацумура Commutative ring theory упр. 9.3), пополнение S по Sp совпадает с пополнением S по произведению всех qi (поскольку системы степеней этих идеалов конфинальны, по крайней мере, после локализации по R \ p), последнее пополнение есть произведение пополнений по отдельным qi (loc. cit. теорема 8.15). По той же теореме Енокса, такие пополнения являются плоскими S-модулями кокручения.
Лемма 2. Пусть R → S -- конечный морфизм нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля. Тогда S-модуль Q является S-модулем кокручения титтк он является R-модулем кокручения.
Доказательство: часть "только тогда" -- частный случай общего результата о сохранении свойства кокручения при ограничении скаляров по любому морфизму ассоциативных колец. Чтобы доказать "тогда", отметим, что согласно Рейно-Грюзону всякий плоский S-модуль имеет конечную правую резольвенту из плоских S-модулей кокручения. Поэтому достаточно проверить, что ExtS>0(G,Q) = 0 для любого плоского S-модуля кокручения G. Из доказательства леммы 1 ясно, что G является прямым слагаемым S-модуля вида S⊗RF для некоторого плоского R-модуля кокручения F. Теперь ExtS>0(S⊗RF, Q) = ExtR>0(F,Q) = 0.
Лемма 3. Пусть R → S -- морфизм из когерентного кольца R в кольцо S, являющееся конечно представимым R-модулем в индуцированной структуре. Пусть F -- плоский R-модуль кокручения и P -- плоский R-модуль кокручения. Тогда естественный гомоморфизм S-модулей S ⊗R HomR(F,P) → HomS(S⊗RF, S⊗RP) является изоморфизмом.
Доказательство: отображение S ⊗R HomR(F,P) → HomR(F, S⊗RP) является изоморфизмом согласно следствию 1.6.3(с) из 1209.2995.
