Ass vs. A-\infty
Sep. 28th, 2012 12:53 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicУж сколько раз твердили миру, но урок не впрок, так что я попробую еще раз.
Тезис: понятие ассоциативной DG-алгебры не является частным случаем понятия А-бесконечность алгебры. Наоборот, понятие А-бесконечность алгебры является частным случаем, в зависимости от точки зрения, либо понятия коассоциативной DG-коалгебры, либо понятия ассоциативной DG-алгебры.
Обоснование: начнем с того, что естественные функторы действуют в обе стороны (или, лучше сказать, во все три). Ассоциативную DG-алгебру можно рассматривать как А-бесконечность алгебру с тривиальными высшими операциями, но и А-бесконечность алгебре можно сопоставить ее ассоциативную обертывающую. Кроме того, А-бесконечность алгебре можно сопоставить ее бар-конструкцию, являющуюся косвободной (если забыть дифференциал) конильпотентной DG-коалгеброй. Кобар-конструкция этой DG-коалгебры дает как раз ассоциативную DG-обертывающую исходной А-бесконечность алгебры.
Какой из этих функторов должен естественным образом рассматриваться как вложение частных случаев в общие, в какую сторону?
Можно рассуждать так. Целью рассмотрения ассоциативных или близких к ним алгебр любого рода является, в конечном итоге, переход к категориям модулей над ними. DG-модули над ассоциативной DG-алгеброй не есть то же самое, что А-бесконечность модули над соответствующей ей А-бесконечность алгеброй. Даже если высшие операции в А-бесконечность алгебре нулевые, высшие операции в А-бесконечность модуле могут быть нетривиальными. Таким образом, с А-бесконечность алгеброй, соответствующей ассоциативной DG-алгебре, связан более широкий класс модулей, чем исходной ассоциативной DG-алгеброй.
С другой стороны, А-бесконечность модуль над А-бесконечность алгеброй -- это то же самое, что ассоциативный DG-модуль над ассоциативной обертывающей нашей А-бесконечность алгебры. Таким образом, функтор взятия ассоциативной DG-обертывающей не расширяет, а сохраняет категорию модулей. В этом смысле, он больше похож на вложение частных случаев в общие.
Последний абзац нуждается в уточнении: категории А-бесконечность модулей бывают разные, а именно, их бывает две. Можно рассматривать А-бесконечность модули со строгими морфизмами между ними -- и это та категория А-бесконечность модулей, которую описывает предыдущий абзац. Но интереснее и более отвечает духу А-бесконечность науки рассмотрение категории А-бесконечность модулей с А-бесконечность морфизмами между ними.
При таком подходе, переход от ассоциативной DG-алгебры к связанной с ней А-бесконечность алгебре с тривиальными высшими операциями расширяет не только класс модулей, но и множество (комплекс) морфизмов между двумя фиксированными модулями.
С другой стороны, А-бесконечность модуль над А-бесконечность алгеброй -- это то же самое, что косвободный (если забыть дифференциал) коассоциативный DG-комодуль над его ее кобар-конструкцией. Более того, А-бесконечность морфизмы А-бесконечность модулей -- это то же самое, что морфизмы соответствующих DG-комодулей. Наконец, и А-бесконечность морфизмы между А-бесконечность алгебрами суть то же самое, что обычные морфизмы соответствующих коассоциативных DG-коалгебр.
Теперь заметим, что категорию косвободных, если забыть дифференциал, DG-комодулей можно связать не только с косвободной, если забыть дифференциал, но и с произвольной DG-коалгеброй. Таким образом, А-бесконечность алгебры и модули оказываются, при наиболее последовательном подходе, частным случаем коассоциативных DG-коалгебр и (косвободных) DG-комодулей над ними.
Более того, косвободные, если забыть дифференциал, DG-коалгебры -- это просто фибрантные (они же фибрантно-кофибрантные) объекты естественной модельной структуры на конильпотентных DG-коалгебрах. А косвободные, если забыть дифференциал, DG-комодули -- это фибрантные (= фибрантно-кофибрантные) объекты естественной модельной структуры на DG-комодулях над DG-коалгеброй.
Таким образом, категория А-бесконечность алгебр с А-бесконечность морфизмами между ними есть категория фибрантных DG-коалгебр, а категория А-бесконечность модулей с А-бесконечность морфизмами между ними есть категория фибрантных DG-комодулей над фибрантной DG-коалгеброй.
А как же теорема, что производная категория DG-модулей над ассоциативной DG-алгеброй эквивалентна гомотопической категории А-бесконечность модулей над соответствующей А-бесконечность алгеброй? А это нетривиальное утверждение, далекое от того, чтобы быть тавтологией, далеко не автоматически выполненное в разных обобщенных ситуациях (с кривизной, второго рода) и т.д.
Собственно, здесь даже не одно утверждение, а два. Производная категория DG-модулей над ассоцитивной DG-алгеброй A эквивалентна гомотопической категории А-бесконечность модулей над A с А-бесконечность морфизмами между ними и эквивалентна производной категории А-бесконечность модулей над А со строгими морфизмами между ними.
Называются оба эти утверждения -- производная неоднородная кошулева двойственность, два разных ее варианта (или их частные случаи). Производная категория DG-модулей над A эквивалентна копроизводной категории DG-комодулей над Bar(A) (она же гомотопическая категория косвободных, если забыть дифференциал, DG-комодулей), а последняя эквивалентна производной категории DG-модулей над Cob(Bar(A)).
А как насчет теоремы, что категория А-бесконечность алгебр и классов гомотопии А-бесконечность морфизмов между ними эквивалентна категории ассоциативных DG-алгебр, локализованной по классу квазиизоморфизмов? А это следствие теоремы кошулевой двойственности между ассоциативными DG-алгебрами и конильпотентными коассоциативными DG-коалгебрами, квилленовской эквивалентности их модельных категорий.
Вот как выглядит, на мой взгляд, эта теория, если строить ее, имея в виду модификации и обобщения, а не пытаясь тривиализовать и догматизировать одну стандартную ситуацию, выдавая теоремы за новейшие определения и забывая при этом, как и на основе чего они доказываются, и каковы пределы применимости этих доказательств.
Литература: http://arxiv.org/abs/math/0310337 , http://arxiv.org/abs/0905.2621 , http://arxiv.org/abs/1202.2697
Тезис: понятие ассоциативной DG-алгебры не является частным случаем понятия А-бесконечность алгебры. Наоборот, понятие А-бесконечность алгебры является частным случаем, в зависимости от точки зрения, либо понятия коассоциативной DG-коалгебры, либо понятия ассоциативной DG-алгебры.
Обоснование: начнем с того, что естественные функторы действуют в обе стороны (или, лучше сказать, во все три). Ассоциативную DG-алгебру можно рассматривать как А-бесконечность алгебру с тривиальными высшими операциями, но и А-бесконечность алгебре можно сопоставить ее ассоциативную обертывающую. Кроме того, А-бесконечность алгебре можно сопоставить ее бар-конструкцию, являющуюся косвободной (если забыть дифференциал) конильпотентной DG-коалгеброй. Кобар-конструкция этой DG-коалгебры дает как раз ассоциативную DG-обертывающую исходной А-бесконечность алгебры.
Какой из этих функторов должен естественным образом рассматриваться как вложение частных случаев в общие, в какую сторону?
Можно рассуждать так. Целью рассмотрения ассоциативных или близких к ним алгебр любого рода является, в конечном итоге, переход к категориям модулей над ними. DG-модули над ассоциативной DG-алгеброй не есть то же самое, что А-бесконечность модули над соответствующей ей А-бесконечность алгеброй. Даже если высшие операции в А-бесконечность алгебре нулевые, высшие операции в А-бесконечность модуле могут быть нетривиальными. Таким образом, с А-бесконечность алгеброй, соответствующей ассоциативной DG-алгебре, связан более широкий класс модулей, чем исходной ассоциативной DG-алгеброй.
С другой стороны, А-бесконечность модуль над А-бесконечность алгеброй -- это то же самое, что ассоциативный DG-модуль над ассоциативной обертывающей нашей А-бесконечность алгебры. Таким образом, функтор взятия ассоциативной DG-обертывающей не расширяет, а сохраняет категорию модулей. В этом смысле, он больше похож на вложение частных случаев в общие.
Последний абзац нуждается в уточнении: категории А-бесконечность модулей бывают разные, а именно, их бывает две. Можно рассматривать А-бесконечность модули со строгими морфизмами между ними -- и это та категория А-бесконечность модулей, которую описывает предыдущий абзац. Но интереснее и более отвечает духу А-бесконечность науки рассмотрение категории А-бесконечность модулей с А-бесконечность морфизмами между ними.
При таком подходе, переход от ассоциативной DG-алгебры к связанной с ней А-бесконечность алгебре с тривиальными высшими операциями расширяет не только класс модулей, но и множество (комплекс) морфизмов между двумя фиксированными модулями.
С другой стороны, А-бесконечность модуль над А-бесконечность алгеброй -- это то же самое, что косвободный (если забыть дифференциал) коассоциативный DG-комодуль над его ее кобар-конструкцией. Более того, А-бесконечность морфизмы А-бесконечность модулей -- это то же самое, что морфизмы соответствующих DG-комодулей. Наконец, и А-бесконечность морфизмы между А-бесконечность алгебрами суть то же самое, что обычные морфизмы соответствующих коассоциативных DG-коалгебр.
Теперь заметим, что категорию косвободных, если забыть дифференциал, DG-комодулей можно связать не только с косвободной, если забыть дифференциал, но и с произвольной DG-коалгеброй. Таким образом, А-бесконечность алгебры и модули оказываются, при наиболее последовательном подходе, частным случаем коассоциативных DG-коалгебр и (косвободных) DG-комодулей над ними.
Более того, косвободные, если забыть дифференциал, DG-коалгебры -- это просто фибрантные (они же фибрантно-кофибрантные) объекты естественной модельной структуры на конильпотентных DG-коалгебрах. А косвободные, если забыть дифференциал, DG-комодули -- это фибрантные (= фибрантно-кофибрантные) объекты естественной модельной структуры на DG-комодулях над DG-коалгеброй.
Таким образом, категория А-бесконечность алгебр с А-бесконечность морфизмами между ними есть категория фибрантных DG-коалгебр, а категория А-бесконечность модулей с А-бесконечность морфизмами между ними есть категория фибрантных DG-комодулей над фибрантной DG-коалгеброй.
А как же теорема, что производная категория DG-модулей над ассоциативной DG-алгеброй эквивалентна гомотопической категории А-бесконечность модулей над соответствующей А-бесконечность алгеброй? А это нетривиальное утверждение, далекое от того, чтобы быть тавтологией, далеко не автоматически выполненное в разных обобщенных ситуациях (с кривизной, второго рода) и т.д.
Собственно, здесь даже не одно утверждение, а два. Производная категория DG-модулей над ассоцитивной DG-алгеброй A эквивалентна гомотопической категории А-бесконечность модулей над A с А-бесконечность морфизмами между ними и эквивалентна производной категории А-бесконечность модулей над А со строгими морфизмами между ними.
Называются оба эти утверждения -- производная неоднородная кошулева двойственность, два разных ее варианта (или их частные случаи). Производная категория DG-модулей над A эквивалентна копроизводной категории DG-комодулей над Bar(A) (она же гомотопическая категория косвободных, если забыть дифференциал, DG-комодулей), а последняя эквивалентна производной категории DG-модулей над Cob(Bar(A)).
А как насчет теоремы, что категория А-бесконечность алгебр и классов гомотопии А-бесконечность морфизмов между ними эквивалентна категории ассоциативных DG-алгебр, локализованной по классу квазиизоморфизмов? А это следствие теоремы кошулевой двойственности между ассоциативными DG-алгебрами и конильпотентными коассоциативными DG-коалгебрами, квилленовской эквивалентности их модельных категорий.
Вот как выглядит, на мой взгляд, эта теория, если строить ее, имея в виду модификации и обобщения, а не пытаясь тривиализовать и догматизировать одну стандартную ситуацию, выдавая теоремы за новейшие определения и забывая при этом, как и на основе чего они доказываются, и каковы пределы применимости этих доказательств.
Литература: http://arxiv.org/abs/math/0310337 , http://arxiv.org/abs/0905.2621 , http://arxiv.org/abs/1202.2697
