[personal profile] posic
Хотелось бы доказать

Утверждение 1. Пусть R -- полное нетерово локальное кольцо. Тогда всякий R-контрамодуль (над топологическим кольцом R в адической топологии) является R-модулем кокручения (над R как дискретным кольцом).

В статье Енокса показано, что свободный R-контрамодуль R[[X]] является плоским R-модулем кокручения (поскольку он изоморфен HomR(C,C[X]), где C -- инъективная оболочка поля вычетов R, так что это Hom из инъективного R-модуля в инъективный).

Если R регулярно, то всякий R-контрамодуль имеет конечную левую свободную R-контрамодульную резольвенту, откуда утверждение 1 сразу следует. Теперь допустим, что кольцо R является факторкольцом регулярного полного нетерова локального кольца T. Тогда всякий R-контрамодуль является также T-контрамодулем, и искомое утверждение немедленно следует из леммы 2 из этого постинга -- http://posic.livejournal.com/850193.html

Нет ли более прямого рассуждения? В силу результата Рейно-Грюзона, всякий плоский R-модуль имеет конечную правую резольвенту из плоских R-модулей кокручения, так что достаточно показать, что ExtR>0(F,P) = 0 для плоского R-модуля кокручения F и R-контрамодуля P. Согласно Е., модуль F является произведением контрамодулей над пополнениями локализаций кольца R по его простым идеалам.

Дополнение к замкнутой точке в спектре R можно покрыть конечным числом главных аффинных открытых подмножеств, и F представится в виде конечной прямой суммы, где одно слагаемое есть R-контрамодуль, а на каждом из оставшихся обратимо действует некоторый элемент из максимального идеала кольца R. Теперь можно воспользоваться теоремой B.1.1(2a) из 1202.2697, и вопрос сводится к доказательству того, что ExtR>0(F,P) = 0, где F -- свободный R-контрамодуль, P -- произвольный, а Ext берется в категории всех R-модулей.

В отношении последнего, хотелось бы сформулировать общее

Утверждение 2. Пусть R -- адическое пополнение нетерова кольца S по его идеалу I. Тогда Ext между двумя R-контрамодулями Q и P, посчитанный в категории R-контрамодулей, изоморфен Ext-у между ними же, посчитанному в категории S-модулей.

Очевидно, утверждение 2 достаточно доказывать в случае, когда R-контрамодуль Q = F свободный. Теперь если I -- максимальный идеал в S, а полное нетерово локальное кольцо R является факторкольцом регулярного, у нас это уже доказано выше. В самом деле, R плоский S-модуль и F плоский R-модуль, так что F плоский S-модуль; а Q -- R-модуль кокручения, так что он также и S-модуль кокручения.

Хотелось бы доказать утверждение 2 в общем случае. Также интересно знать, всякое ли полное нетерово локальное кольцо является факторкольцом регулярного.
(will be screened)
(will be screened if not on Access List)
(will be screened if not on Access List)
If you don't have an account you can create one now.
HTML doesn't work in the subject.
More info about formatting

If you are unable to use this captcha for any reason, please contact us by email at support@dreamwidth.org

June 2025

S M T W T F S
1 2 3 4 56 7
8 9 10 1112 13 14
15161718192021
22232425262728
2930     

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jun. 15th, 2025 10:02 am
Powered by Dreamwidth Studios