![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ развитие предыдущего математического постинга. Пусть R -- коммутативное кольцо, I ⊂ R -- идеал. Напомним, что R-модуль P называется (R,I)-контрамодулем, если ExtR1(R[s−1],P) = 0 для любого s ∈ R и ExtR0,1(R[s−1],P) = 0 для любого s ∈ I. Геометрически это означает, что P -- (локально контраприспособленный) контрагерентный копучок контрамодулей на формальной окрестности замкнутой подсхемы нулей I в спектре R.
Утверждение: категория (R,I)-контрамодулей эквивалентна категории (локально контраприспособленных) контрагерентных копучков на Spec R, равных нулю в ограничении на дополнение к замкнутой подсхеме нулей I.
Доказательство: утверждение тавтологично. По определению, категория контрагерентных копучков на Spec R эквивалентна категории R-модулей P со свойством ExtR1(R[s−1],P) = 0 для любого s ∈ R. Дополнение к замкнутой подсхеме нулей I в Spec R покрывается своими открытыми подмножествами вида Spec R[s−1], где s пробегает элементы I (или какую-нибудь систему образующих I как идеала). Ограничение контрагерентного копучка на Spec R, соответствующего R-модулю P, на главное открытое подмножество Spec R[s−1] ⊂ Spec R, соответствует R[s−1]-модулю HomR(R[s−1],P). Конец доказательства.
Что-то важное должно проистекать из этой тавтологии, но я не понимаю пока, что.
Утверждение: категория (R,I)-контрамодулей эквивалентна категории (локально контраприспособленных) контрагерентных копучков на Spec R, равных нулю в ограничении на дополнение к замкнутой подсхеме нулей I.
Доказательство: утверждение тавтологично. По определению, категория контрагерентных копучков на Spec R эквивалентна категории R-модулей P со свойством ExtR1(R[s−1],P) = 0 для любого s ∈ R. Дополнение к замкнутой подсхеме нулей I в Spec R покрывается своими открытыми подмножествами вида Spec R[s−1], где s пробегает элементы I (или какую-нибудь систему образующих I как идеала). Ограничение контрагерентного копучка на Spec R, соответствующего R-модулю P, на главное открытое подмножество Spec R[s−1] ⊂ Spec R, соответствует R[s−1]-модулю HomR(R[s−1],P). Конец доказательства.
Что-то важное должно проистекать из этой тавтологии, но я не понимаю пока, что.
