posic

Продолжение предыдущего постинга, обозначения которого сохраняются.

Лемма 1. Пусть P -- контраприспособленный модуль над кольцом R. Тогда P/IP -- контраприспособленный модуль над факторкольцом R/I.

Доказательство. Поскольку известно, что класс контраприспособленных модулей замкнут относительно взятия фактормодулей, достаточно показать, что R/I-модуль контраприспособлен тогда и только тогда, когда он контраприспособлен как R-модуль. Последнее немедленно следует из определения контраприспособленности, апеллирующего к действию на модуле отдельных элементов кольца ("неоднозначное бесконечное суммирование"). Альтернативным образом, достаточно отметить, что приведения по модулю I локализаций кольца R по его элементам суть в точности все локализации кольца R/I по его элементам, и Ext_R*(F,Q) = Ext_R/I*(F/IF, Q) для плоского R-модуля F и любого R/I-модуля Q.

Верен ли аналог леммы 1 для модулей кокручения вместо контраприспособленных? Спрашивать об этом имеет смысл в дополнительном предположении, что R-модуль P плоский. Упирается это дело, видимо, прежде всего в то, как поднять произвольный плоский R/I-модуль до плоского R-модуля.

Лемма 2. Пусть P -- контраприспособленный плоский модуль над когерентным кольцом R, и пусть r ∈ R -- элемент. Предположим, что идеал I ⊂ R конечно порожден. Тогда естественный гомоморфизм R/I[r⁻¹]-модулей Hom_R(R[r⁻¹],P) / I Hom_R(R[r⁻¹],P) → Hom_R/I(R/I[r⁻¹], P/IP) является изоморфизмом.

Доказательство. Очевидно, Hom_R(R[r⁻¹], P/IP) = Hom_R/I(R/I[r⁻¹], P/IP), так что достаточно показать, что Hom_R(R[r⁻¹],P) / I Hom_R(R[r⁻¹],P) = Hom_R(R[r⁻¹], P/IP). В этом последнем утверждении на место R/I можно поставить любой конечно представимый R-модуль, на место R[r⁻¹] -- любой очень плоский R-модуль, и в таком виде оно доказано в разделе 1.6 нынешней версии текста, который сейчас пишется.

1.
- Так что такое полуалгебра, нельзя ли сказать по-простому?
- Полуалгебра -- это такая смесь алгебры и коалгебры.
- Это ты сам их придумал?
- Да, хотя похожие объекты встречались в литературе под названием...
- Встречались, да: смесь алгебры с коалгеброй называется алгеброй Хопфа.
- Охх... ну... это не то. Грубо говоря, алгебра Хопфа -- это две структуры умножения и коумножения на одном и том же наборе переменных. А полуалгебра -- это объект, являющийся коалгеброй по части переменных и алгеброй по остальным. Наверное, лучше будет сказать так: полуалгебра -- это алгебра над коалгеброй. Так понятнее?
- ...

2.
- Что такое полубесконечные когомологии, можно по-простому объяснить?
- Это такая смесь гомологий по части переменных и когомологий по другой части. В результате получается теория, занумерованная по гомологической градуировке всеми целыми числами, а не только положительными или отрицательными.
- Смесь гомологий с когомологиями называется "когомологии Тейта", не так ли? Они занумерованы всеми целыми числами.
- Охх... ну... это не то. Давай я так объясню: когомологии Тейта -- это ты берешь прямую сумму гомологий с когомологиями и выпиливаешь из нее немножко. А полубесконечные когомологии -- это ты берешь тензорное произведение гомологий с когомологиями, деформируешь и выпиливаешь оттуда что-то.
- ??
- Поскольку одни градуированы отрицательными числами, а другие положительными, у тебя при взятии тензорного произведения получается бесконечная прямая сумма или произведение по градуировкам. Поэтому полубесконечные когомологии обычно бесконечномерны, даже у конечномерных объектов.
- ...

3.
- И что такое эти контрагерентные копучки?
- Это такие геометрические модульные объекты на схеме, образующие точную категорию с точными функторами бесконечных произведений и достаточным количеством проективных объектов.
- Можно взять противоположную категорию к категории квазикогерентных пучков. Она даже не точная, а абелева.
- Охх... ну... это не то...
- Я даже еще лучше умею: можно взять категорию про-объектов в категории когерентных пучков. В ней точны функторы бесконечных произведений и достаточно проективных объектов. И она абелева тоже.
- Смотри: пусть твоя схема -- просто спектр поля. Тогда то, что ты говоришь -- это будет категория, противоположная к категории бесконечномерных (дискретных) векторных пространств над этим полем. Обе твои конструкции дадут такой результат. А категория контрагерентных копучков над спектром поля -- это сама категория бесконечномерных векторных пространств, не противоположная к ней.
- ??
- Потому, что вот категория бесконечномерных дискретных векторных пространств, посмотрим на нее. В ней точны бесконечные прямые суммы и даже индуктивные пределы. Ты как бы хочешь смотреть на нее как на категорию инд-конечномерных пространств, но можно смотреть и по-другому. В той же самой категории точны и бесконечные произведения. И нет проблем ни с инъективными, ни с проективными. Вот этот момент обыгрывается.
- ...

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо. R-модуль P называется контраприспособленным, если Ext_R¹(R[s⁻¹], P) = 0 для всех s ∈ R; эквивалентным образом, для любой последовательности элементов p₀, p₁, ... ∈ P и элемента s ∈ R должна существовать последовательность элементов q₀, q₁, ... ∈ P такая, что q_i = p_i + sq_i+1 для всех i ≥ 0. Класс контраприспособленных R-модулей замкнут относительно расширений, перехода к фактормодулям, и бесконечных произведений.

Для каких R-модулей M можно утверждать, что если R-модуль P контраприспособлен, то таков также и R-модуль M ⊗_R P ?

1. Если модуль M конечно порожден и P контраприспособлен, то M ⊗_R P контраприспособлен. В самом деле, M является фактормодулем свободного модуля с конечным числом образующих, так что M ⊗_R P является фактормодулем прямой суммы конечного числа копий P.

2. Если модуль M является фактормодулем инъективного R-модуля и модуль P контраприспособлен, то модуль M ⊗_R P контраприспособлен. В самом деле, можно показать, что всякий контраприспособленный модуль является фактормодулем плоского контраприспособленного модуля. Поэтому остается заметить, что тензорное произведение инъективного модуля на плоский над нетеровым кольцом инъективно, а всякий инъективный модуль контраприспособлен.

Для каких еще R-модулей M это верно? Для контраприспособленных, может быть, например? Или даже для произвольных (что вряд ли)?

Окончание http://posic.livejournal.com/824513.html и http://posic.livejournal.com/824808.html

Два наблюдения немедленно следуют из теоремы, доказанной по второй ссылке. Во-первых, в случае F = E мы узнаем, что D(E)^hf = D(E), если категория E абелева с точными функторами бесконечных прямых сумм. Во-вторых, мы знаем, что когда F есть точная категория проективных модулей над кольцом, а E -- абелева категория всех модулей, D(F) = Hot(F) ≠ D(E) и D(F)^hf есть полная подкатегория гомотопически проективных комплексов в Hot(F). Отсюда видно, что утверждение теоремы неверно, когда точная категория E неабелева.

По-видимому, наиболее существенным образом абелевость E использовалась в рассуждении по ссылке в тот момент, когда мы рассматривали каноническую фильтрацию произвольного комплекса над E. То есть, несуществование канонических фильтраций комплексов над точными категориями имеет такие далеко идущие последствия.

Вопросы:
1. когда E неабелева, имеет ли место эквивалентность категорий D(F)^hf = D(E)^hf ?
2. когда E неабелева, является ли категория D(E) локализацией Вердье категории D(F), и если так, то можно ли построить сопряженный функтор/полуортогональное разложение, так чтобы D(E) была эквивалентна подходящей подкатегории D(F)^hf/E ⊂ D(F) ?

Продолжение предыдущего постинга, обозначения которого сохраняются.

Лемма. Пусть B -- ограниченный сверху комплекс над F, а C -- комплекс над F, ацикличный над E. Тогда группа Hom(B,C) в производной категории D(F) равна нулю.

Доказательство: пусть имеется морфизм комплексов B → C; покажем, что он становится тривиальным в производной категории комплексов над F. Морфизм B → C факторизуется как B → A → C, где A -- каноническое обрезание комплекса C в подходящем месте (так что A является комплексом над E, причем ацикличным). Пусть G → A -- почленный E-допустимый эпиморфизм комплексов в A из ограниченного сверху ацикличного комплекса G над F (отметим, что в наших предположениях всякий E-ацикличный ограниченный сверху комплекс над F является и F-ацикличным).

Пусть K -- почленное расслоенное произведение комплексов G и B над комплексом A; тогда K → B -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм. Пусть L → K -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм комплексов в К из ограниченного сверху комплекса L над F. Тогда композиция L → K → B является почленно F-допустимым эпиморфизмом и F-квазиизоморфизмом ограниченных сверху комплексов над F. Теперь композиция L → B → C факторизуется через G, что доказывает искомое утверждение.

Теорема. Допустим, что в наших предположениях точная категория E на самом деле абелева. Пусть D(F)^hf обозначает минимальную полную триангулированную подкатегорию в D(F), содержащую все ограниченные сверху комплексы и замкнутую относительно бесконечных прямых сумм. Тогда композиция триангулированных функторов D(F)^hf → D(F) → D(E) является эквивалентностью категорий.

Доказательство: мы покажем, что во всякий комплекс над E бьет квазиизоморфизм из комплекса, принадлежащего D(F)^hf. В частности, отсюда будет немедленно следовать, ввиду известной леммы 1.6 из Two kinds..., примененной к гомотопической категории Hot(E) с подкатегориями Hot(F) и Acycl(E), что D(E) эквивалентна локализации D(F) по толстой подкатегории E-ацикличных комплексов над F. Далее, согласно лемме выше, последняя подкатегория полуортогональна справа D(F)^hf внутри D(F). Ввиду того же утверждения о существовании квазиизоморфизма, эти две подкатегории образуют полуортогональное разложение D(F), откуда желаемое утверждение немедленно вытекает.

Чтобы построить искомый квазиизоморфизм в комплекс C над E, рассмотрим все его подкомплексы канонического обрезания, и для каждого выберем почленно E-сюръективный E-кваизиизоморфизм в него из ограниченного комплекса над F. Возьмем прямую сумму B(0) всех построенных комплексов над F и рассмотрим естественный морфизм из нее в C. Это почленно сюръективный морфизм комплексов, действующий также сюръективно на всех объектах кограниц (заведомо), коциклов и когомологий (эквивалентным образом). Возьмем ядро этого морфизма комплексов, подставим на место C и применим ту же конструкцию, и так далее, бесконечно итерируя.

Мы построили точный комплекс комплексов ... → B(2) → B(1) → B(0) → С → 0, остающийся также точным при замене всех этих комплексов на их градуированные объекты когомологий (в абелевой категории E). Все комплексы B(i) принадлежат D(F)^hf по построению. Остается показать, что тотализация бикомплекса B с помощью бесконечных прямых сумм тоже принадлежит D(F)^hf и Е-квазиизоморфно отображается в C.

Тотализация бикомплекса B есть прямой предел тотализаций его подкомплексов глупой фильтрации B(n) → B(n−1) → ... → B(1) → B(0). Более этого, это прямой предел последовательсти комплексов и морфизмов между ними, являющихся в каждом члене комплексов вложениями прямого слагаемого. В любой аддитивной категории со счетными прямыми суммами, прямой предел последовательности вложений прямых слагаемых X₀ → X₁ → ... существует и включается в расщепимую точную тройку телескопа 0 → ⊕ X_n → ⊕ X_n → lim X_n → 0. В случае с тотализациями подкомплексов глупой фильтрации бикомплекса B, мы получаем почленно расщепимую точную тройку комплексов, в которой первые два члена суть прямые суммы тотализаций таких подкомплексов, а третий член есть тотализация всего бикомплекса B. Поэтому тотализацию бикомплекса B можно получить из комплексов B(n) с помощью операций итерированного конуса и перехода к счетной прямой сумме.

Рассмотрим теперь бикомплекс, полученный аугментированием бикомплекса B с помощью комплекса C, и напишем для него аналогичную расщепимую точную тройку комплексов. Перейдем к длинной точной последовательности когомологий этой точной тройки комплексов над абелевой категорией E. Морфизмы в этой длинной точной последовательности, индуцированные левым морфизмом в точной тройке комплексов, представляют собой дифференциал в двучленном комплексе для вычисления производного функтора прямого предела когомологий тотализаций подкомплексов глупой фильтрации нашего аугментированного бикомплекса с помощью конструкции телескопа. Из условий точности, наложенных на бикомплекс B, легко следует, что отображения в когомологиях, индуцированные вложениями соседних подкомплексов глупой фильтрации аугментированного комплекса, равны нулю. Поэтому дифференциал в двучленном телескопическом комплексе, вычисляющем прямой предел когомологий, является изоморфизмом по построению. Ввиду точности длинной последовательности, отсюда следует, что когомологии тотализации аугментированного бикомплекса зануляются. (Ср. Eilenberg-Moore, Limits and spectral sequences.)

- Контрагерентными копучками дело не ограничивается. Бывают еще производно контрагерируемые копучки.
- Что это такое?
- Это копучки, на которых определен производный функтор контрагератора.
- А которые не контрагерируемые, они что? Ты их контрагерируешь, контрагерируешь, а они не контрагерируются? Даже производно??
- Нет, еще хуже. Ты для них вычисляешь свой производный функтор контрагератора, и вроде все идет как по маслу. А потом выясняется, что результат зависит от аффинного покрытия, по которому ты его вычислял.
- Например?
- Например, если копучок не контрагерентен, но локально контрагерентен, его нельзя производно контрагерировать.
- Но можно производно локально контрагерировать, да?
- Да, так что бывают еще \W-локально производно контрагерируемые копучки.
- И когда их контрагерируешь, получаются комплексы локально контрагерентных копучков?
- Да нет, даже глобально контрагерентных. Просто надо это дело считать с помощью мелкого покрытия (подчиненного \W). Иначе неправильный ответ получится.

Хотя, в каком-то смысле, схема (по крайней мере, квазикомпактная полуотделимая, а с другими я работать толком не научился) есть частный случай кокольца, и квазикогерентным пучкам при этом соответствуют комодули, а контрагерентным копучкам -- контрамодули, устанавливаемое таким образом соответствие между теорией контрамодулей над кокольцами (как изложено полубесконечной книжке) и теорией контрагерентных копучков над схемами является довольно приблизительным.

Сначала я думал, что главное отличие в том, что
1. в полубесконечной книжке рассматриваются левые контрамодули над проективными слева кокольцами, а кокольца, связанные со схемами, только плоски слева;
потом оказалось, что
2. конструкция кокольца по схеме зависит от выбора аффинного покрытия, и категория контрамодулей над построенным таким образом кокольцом тоже меняется при изменении покрытия;
теперь же я вижу, что, в дополнение к предыдущему,
3. в то время, как в полубесконечной книжке рассматриваются кокольца C бесконечной гомологической размерности над кольцами A конечной гомологической размерности, в связи со схемами возникают кокольца C над кольцами A бесконечной гомологической размерности, имеющие конечную гомологическую размерность в относительном направлении C/A (что бы это ни значило).

В результате, например, ко-контра соответствие для квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков в наибольшей, похоже, общности формулируется не с ко- и контрапроизводными, а с обычными производными или абсолютными производными категориями. Над квазикомпактной полуотделимой схемой, производная категория абелевой категории квазикогерентных пучков эквивалентна производной категории точной категории контрагерентных копучков (кажется, так). Если же хотеть ко- и контрапроизводные категории, нужно предполагать нетерову схему и дуализирующий комплекс.

В целом, картинка получается больше всего похожей на ко-контра соответствие над конечномерной фробениусовой алгеброй. Разница между абелевыми/точными категориями по две стороны соответствия отсутствует или с гомологической точки зрения незначительна, а нетривиальность в том, чтобы связать между собой ко- и контрапроизводную категорию.

Что-то с памятью моей стало. Кажется мне, что я уже думал на нижеописанную тему, и что-то у меня не получалось -- но что? И в чем правда? И верно ли нижеизложенное?

... А, вот, наверное, где я об этом думал -- http://posic.livejournal.com/793025.html

Теорема: квазикогерентный пучок на квазикомпактной полуотделимой схеме X является пучком кокручения тогда и только тогда, когда его можно представить в виде прямого слагаемого конечно итерированного расширения прямых образов квазикогерентных пучков кокручения с вложений аффинных открытых подсхем в X. При этом можно ограничиться аффинными открытыми подсхемами, входящими в любое фиксированное аффинное открытое покрытие X, а число итераций расширения ограничено величиной, определяемой в терминах числа открытых подмножеств в этом покрытии.

Доказательство: использовать конструкцию из раздела A.1 статьи Coherent analogues... вместе с известной конструкцией плоского покрытия для модуля над кольцом, чтобы представить произвольный квазикогерентный пучок в виде факторпучка плоского пучка по конечно итерированному расширению прямых образов пучков кокручения с аффинных открытых подсхем, входящих в покрытие. Отметить, что такое расширение заведомо является пучком кокручения, ввиду сопряженности производных функторов прямого и обратного образа.

Пользуясь описанной конструкцией вместе с фактом существования вложения произвольного модуля в инъективный, вложить произвольный квазикогерентный пучок в конечно итерированное расширение, как выше, так, чтобы факторпучок был плоским. Применить эту конструкцию к произвольному пучку кокручения.

Продолжение http://posic.livejournal.com/790374.html?mode=reply


IV. Квазикомпактные полуотделимые схемы

IV.1. Квазикогерентные пучки кокручения и контраприспособленные

( Read more... )

IV.2. Приспособленные классы локально контрагерентных копучков

( Read more... )

IV.3. Гомологии локально контрагерентных копучков

( Read more... )

IV.4. Производно и локально контрагерируемые копучки

( Read more... )

IV.5. Производные категории точных категорий и резольвенты

( Read more... )

Развитие http://posic.livejournal.com/785807.html

Следующий контрпример показывает, что
1. свойство копучка модулей над структурным пучком схемы быть контрагерентным нелокально (локальная контрагерентность не влечет глобальную);
2. свойство морфизма контрагерентных копучков быть допустимым мономорфизмом (или, что все равно, мономорфизмом на всех модулях косечений над аффинными открытыми подсхемами) нелокально (опять же, может быть выполнено локально, но не глобально).

Проблема возникает уже в случае гладких кривых (над алгебраически замкнутым полем, например). Контрагерентные копучки локально кокручения имеют ту же проблему. Локально инъективные контрагерентные копучки имеют ту же проблему.

Вот как строятся эти примеры. Пусть A -- коммутативное кольцо, f и g -- два элемента A, порождающие единичный идеал. Пусть K -- какой-нибудь A-модуль, в котором нет ни бесконечно f-делимых, ни бесконечно g-делимых элементов, т.е. Hom_A(A[f⁻¹],K) = 0 = Hom_A(A[g⁻¹],K).

Пусть K → P -- вложение K в контраприспособленный А-модуль P, и пусть Q -- коядро этого вложения. Тогда Q -- тоже контраприспособленный A-модуль. Можно считать A кольцом гомологической размерности 1, и тогда если P -- A-модуль кокручения или инъективный А-модуль, то тем же свойством обладает и Q.

Рассмотрим морфизм контрагерентных копучков на Spec A, связанный с морфизмом контраприспособленных A-модулей P → Q. В ограничении на покрытие Spec A главными аффинными открытыми подмножествами Spec A[f⁻¹] и Spec A[g⁻¹], мы получаем два морфизма контрагерентных копучков, связанных с морфизмами контраприспособленных модулей Hom_A(A[f⁻¹],P) → Hom_A(A[f⁻¹],Q) и Hom_A(A[g⁻¹],P) → Hom_A(A[g⁻¹],Q) над A[f⁻¹] и A[g⁻¹]. Ввиду условия, наложенного на ядро K морфизма P → Q, указанные два морфизма контраприспособленных модулей инъективны.

Контрпример к пункту 2. выше получен; построим теперь контрпример к 1. Обозначим коядра наших двух вложений A[f⁻¹]- и A[g⁻¹]-модулей через R^(f) и R^(g). Тогда 0 → Hom_A(A[f⁻¹],P) → Hom_A(A[f⁻¹],Q) → R^(f) → 0 и 0 → Hom_A(A[g⁻¹],P) → Hom_A(A[g⁻¹],Q) → R^(g) → 0 -- короткие точные последовательности контраприспособленных модулей. Если модули P и Q над A были модулями кокручения или инъективными модулями, это даже короткие точные последовательности модулей кокручения или инъективных модулей, соответственно.

Применим к первой из этих двух точных последовательностей функтор Hom_A[f⁻¹](A[f⁻¹,g⁻¹],−), а ко второй -- функтор Hom_A[g⁻¹](A[f⁻¹,g⁻¹],−). Получатся две изоморфные точные последовательности модулей над A[f⁻¹,g⁻¹], поскольку изоморфны их левые (инъективные) составляющие морфизмы. Мы построили естественный изоморфизм A[f⁻¹,g⁻¹]-модулей Hom_A[f⁻¹](A[f⁻¹,g⁻¹], R^(f)) = Hom_A[g⁻¹](A[f⁻¹,g⁻¹], R^(g)). Обозначим модуль, равный обеим сторонам этого изоморфизма, через R^(f,g).

Наконец, рассмотрим две точные последовательности Чеха 0 → Hom_A(A[f⁻¹,g⁻¹], P) → Hom_A(A[f⁻¹],P) ⊕ Hom_A(A[g⁻¹],P) → P → 0 и 0 → Hom_A(A[f⁻¹,g⁻¹], Q) → Hom_A(A[f⁻¹],Q) ⊕ Hom_A(A[g⁻¹],Q) → Q → 0, и естественный морфизм между ними. Соответствующая шестичленная последовательность ядер и коядер сводится к короткой точной последовательности A-модулей 0 → K → R^(f,g) → R^(f) ⊕ R^(g) → 0.

Заметим, что в категории копучков модулей над пучком колец существуют коядра всех морфизмов, и функторы косечений копучков над открытыми подмножествами коммутируют с коядрами. Мы показали, что коядро морфизма контрагерентных копучков на Spec A, связанного с морфизмом контраприспособленных A-модулей P → Q, взятое в категории всех копучков модулей над структурным пучком спектра A, является ненулевым контрагерентным копучком в ограничении на Spec A[f⁻¹] и Spec A[g⁻¹], но модуль косечений его над Spec A равен нулю. Это доставляет искомый контрпример к пункту 1.