Трудности автопопуляризации

[posic]

1.
- Так что такое полуалгебра, нельзя ли сказать по-простому?
- Полуалгебра -- это такая смесь алгебры и коалгебры.
- Это ты сам их придумал?
- Да, хотя похожие объекты встречались в литературе под названием...
- Встречались, да: смесь алгебры с коалгеброй называется алгеброй Хопфа.
- Охх... ну... это не то. Грубо говоря, алгебра Хопфа -- это две структуры умножения и коумножения на одном и том же наборе переменных. А полуалгебра -- это объект, являющийся коалгеброй по части переменных и алгеброй по остальным. Наверное, лучше будет сказать так: полуалгебра -- это алгебра над коалгеброй. Так понятнее?
- ...

2.
- Что такое полубесконечные когомологии, можно по-простому объяснить?
- Это такая смесь гомологий по части переменных и когомологий по другой части. В результате получается теория, занумерованная по гомологической градуировке всеми целыми числами, а не только положительными или отрицательными.
- Смесь гомологий с когомологиями называется "когомологии Тейта", не так ли? Они занумерованы всеми целыми числами.
- Охх... ну... это не то. Давай я так объясню: когомологии Тейта -- это ты берешь прямую сумму гомологий с когомологиями и выпиливаешь из нее немножко. А полубесконечные когомологии -- это ты берешь тензорное произведение гомологий с когомологиями, деформируешь и выпиливаешь оттуда что-то.
- ??
- Поскольку одни градуированы отрицательными числами, а другие положительными, у тебя при взятии тензорного произведения получается бесконечная прямая сумма или произведение по градуировкам. Поэтому полубесконечные когомологии обычно бесконечномерны, даже у конечномерных объектов.
- ...

3.
- И что такое эти контрагерентные копучки?
- Это такие геометрические модульные объекты на схеме, образующие точную категорию с точными функторами бесконечных произведений и достаточным количеством проективных объектов.
- Можно взять противоположную категорию к категории квазикогерентных пучков. Она даже не точная, а абелева.
- Охх... ну... это не то...
- Я даже еще лучше умею: можно взять категорию про-объектов в категории когерентных пучков. В ней точны функторы бесконечных произведений и достаточно проективных объектов. И она абелева тоже.
- Смотри: пусть твоя схема -- просто спектр поля. Тогда то, что ты говоришь -- это будет категория, противоположная к категории бесконечномерных (дискретных) векторных пространств над этим полем. Обе твои конструкции дадут такой результат. А категория контрагерентных копучков над спектром поля -- это сама категория бесконечномерных векторных пространств, не противоположная к ней.
- ??
- Потому, что вот категория бесконечномерных дискретных векторных пространств, посмотрим на нее. В ней точны бесконечные прямые суммы и даже индуктивные пределы. Ты как бы хочешь смотреть на нее как на категорию инд-конечномерных пространств, но можно смотреть и по-другому. В той же самой категории точны и бесконечные произведения. И нет проблем ни с инъективными, ни с проективными. Вот этот момент обыгрывается.
- ...

Comments

[roma.livejournal.com]

про 2 -- мы же написали текст про то, что Тейтовские когомологии это частный случай полубесконечных!?

[posic.livejournal.com]

Это ты пример в нашем тексте про тейтовские когомологии написал. Но вот я сейчас в него гляжу, и, конечно, там не утверждается, что тейтовские когомологии являются частным случаем полубесконечных, в какой бы то ни было ситуации. А стоит там отсылка к предложению, утверждающему наличие длинной точной последовательности, связывающей Ext в большой (триангулированной) категории, Ext через подкатегорию, и Ext в факторкатегории.

В ситуации, обсуждаемой в примере, полубесконечные когомологии (Ext через подкатегорию) есть просто обычные гомологии, никакие не тейтовские. А тейтовские когомологии -- это, естественно, Ext в факторкатегории (никакой не полубесконечный).

Так что, вот.

[vinil28.livejournal.com]

Особенно понравилось: Tags: "math6". "Учите матчасть" )))