posic | Особое ограничение на замкнутую подсхему

Продолжение предыдущего постинга, обозначения которого сохраняются.

Лемма 1. Пусть P -- контраприспособленный модуль над кольцом R. Тогда P/IP -- контраприспособленный модуль над факторкольцом R/I.

Доказательство. Поскольку известно, что класс контраприспособленных модулей замкнут относительно взятия фактормодулей, достаточно показать, что R/I-модуль контраприспособлен тогда и только тогда, когда он контраприспособлен как R-модуль. Последнее немедленно следует из определения контраприспособленности, апеллирующего к действию на модуле отдельных элементов кольца ("неоднозначное бесконечное суммирование"). Альтернативным образом, достаточно отметить, что приведения по модулю I локализаций кольца R по его элементам суть в точности все локализации кольца R/I по его элементам, и Ext_R*(F,Q) = Ext_R/I*(F/IF, Q) для плоского R-модуля F и любого R/I-модуля Q.

Верен ли аналог леммы 1 для модулей кокручения вместо контраприспособленных? Спрашивать об этом имеет смысл в дополнительном предположении, что R-модуль P плоский. Упирается это дело, видимо, прежде всего в то, как поднять произвольный плоский R/I-модуль до плоского R-модуля.

Лемма 2. Пусть P -- контраприспособленный плоский модуль над когерентным кольцом R, и пусть r ∈ R -- элемент. Предположим, что идеал I ⊂ R конечно порожден. Тогда естественный гомоморфизм R/I[r⁻¹]-модулей Hom_R(R[r⁻¹],P) / I Hom_R(R[r⁻¹],P) → Hom_R/I(R/I[r⁻¹], P/IP) является изоморфизмом.

Доказательство. Очевидно, Hom_R(R[r⁻¹], P/IP) = Hom_R/I(R/I[r⁻¹], P/IP), так что достаточно показать, что Hom_R(R[r⁻¹],P) / I Hom_R(R[r⁻¹],P) = Hom_R(R[r⁻¹], P/IP). В этом последнем утверждении на место R/I можно поставить любой конечно представимый R-модуль, на место R[r⁻¹] -- любой очень плоский R-модуль, и в таком виде оно доказано в разделе 1.6 нынешней версии текста, который сейчас пишется.