![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- нетерово коммутативное кольцо. R-модуль P называется контраприспособленным, если ExtR1(R[s−1], P) = 0 для всех s ∈ R; эквивалентным образом, для любой последовательности элементов p0, p1, ... ∈ P и элемента s ∈ R должна существовать последовательность элементов q0, q1, ... ∈ P такая, что qi = pi + sqi+1 для всех i ≥ 0. Класс контраприспособленных R-модулей замкнут относительно расширений, перехода к фактормодулям, и бесконечных произведений.
Для каких R-модулей M можно утверждать, что если R-модуль P контраприспособлен, то таков также и R-модуль M ⊗R P ?
1. Если модуль M конечно порожден и P контраприспособлен, то M ⊗R P контраприспособлен. В самом деле, M является фактормодулем свободного модуля с конечным числом образующих, так что M ⊗R P является фактормодулем прямой суммы конечного числа копий P.
2. Если модуль M является фактормодулем инъективного R-модуля и модуль P контраприспособлен, то модуль M ⊗R P контраприспособлен. В самом деле, можно показать, что всякий контраприспособленный модуль является фактормодулем плоского контраприспособленного модуля. Поэтому остается заметить, что тензорное произведение инъективного модуля на плоский над нетеровым кольцом инъективно, а всякий инъективный модуль контраприспособлен.
Для каких еще R-модулей M это верно? Для контраприспособленных, может быть, например? Или даже для произвольных (что вряд ли)?
Для каких R-модулей M можно утверждать, что если R-модуль P контраприспособлен, то таков также и R-модуль M ⊗R P ?
1. Если модуль M конечно порожден и P контраприспособлен, то M ⊗R P контраприспособлен. В самом деле, M является фактормодулем свободного модуля с конечным числом образующих, так что M ⊗R P является фактормодулем прямой суммы конечного числа копий P.
2. Если модуль M является фактормодулем инъективного R-модуля и модуль P контраприспособлен, то модуль M ⊗R P контраприспособлен. В самом деле, можно показать, что всякий контраприспособленный модуль является фактормодулем плоского контраприспособленного модуля. Поэтому остается заметить, что тензорное произведение инъективного модуля на плоский над нетеровым кольцом инъективно, а всякий инъективный модуль контраприспособлен.
Для каких еще R-модулей M это верно? Для контраприспособленных, может быть, например? Или даже для произвольных (что вряд ли)?
