Спалтенштейновщина в точных категориях
Jul. 19th, 2012 04:13 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть Е -- точная категория, F -- полная точная подкатегория в ней, удовлетворяющая условиям существования у объектов E левых резольвент из объектов F (замкнутая относительно расширений и перехода к ядрам допустимых эпиморфизмов в F, такая, что в любой объект из E бьет допустимый эпиморфизм из объекта из F, с индуцированной структурой точной категории). Допустим, что в точной категории E существуют и точны бесконечные прямые суммы, и они сохраняют подкатегорию F.
Эквивалентна ли (обычная неограниченная) производная категория D(Е) какой-нибудь хорошей полной подкатегории в D(F)? (Для категорий D− ответ очевидно положительный: D−(E) эквивалентна всей D−(F).) В случае, когда категория E абелева, можно рассуждать так. Вот у нас есть неограниченный комплекс над E; построим в него отображение из комплекса над F, сюръективное не только на всех членах комплексов, но и на объектах коциклов и когомологий. Возьмем ядро этого гомоморфизма комплексов, и будем дальше итерировать конструкцию. Полученный бикомплекс свернем с помощью бесконечных прямых сумм; это будет комплекс над F, квазиизоморфный исходному комплексу над E.
Такая конструкция называется "резольвентой Картана-Эйленберга" (неограниченного комплекса). Она используется, примерно так, как описано выше, в конструкции Спалтенштейна гомотопически плоских резольвент квазикогерентных пучков, например. Проблема в том, что совершенно непонятно, что она должна означать, когда вместо абелевой категории пучков имеется только точная. У произвольных (неацикличных) комплексов над точной категорией нет никаких объектов коциклов или когомологий. Иначе эта проблема формулируется так: невозможно, по-видимому, представить комплекс над точной категорией в виде прямого предела комплексов, ограниченных сверху.
Можно рассмотреть такой пример: комплекс модулей над алгеброй A = k[[x]]/(x3), все члены которого суть свободные модули с одной образующей, а дифференциал есть умножение на x2. Как построить ему гомотопически проективную резольвенту, не выходя в рассуждениях за пределы точной категории проективных A-модулей и не зная о существовании точно-функториальных резольвент (т.е., бар-конструкции)?
Может быть, здесь нужна конструкция вложения точной категории в абелеву, согласованного с бесконечными прямыми суммами? Что вообще здесь нужно? Непонятно.
... Помнится, в выпускном классе средней школы я ходил и размышлял о резольвентах неограниченных комплексов, и тогда же впервые услыхал слова "резольвента Картана-Эйленберга". Круг замкнулся: почти четверть века прошло, но как я тогда не понимал ничего, так и сейчас не понимаю. Слово "точная категория", разве что, узнал с тех пор.
Эквивалентна ли (обычная неограниченная) производная категория D(Е) какой-нибудь хорошей полной подкатегории в D(F)? (Для категорий D− ответ очевидно положительный: D−(E) эквивалентна всей D−(F).) В случае, когда категория E абелева, можно рассуждать так. Вот у нас есть неограниченный комплекс над E; построим в него отображение из комплекса над F, сюръективное не только на всех членах комплексов, но и на объектах коциклов и когомологий. Возьмем ядро этого гомоморфизма комплексов, и будем дальше итерировать конструкцию. Полученный бикомплекс свернем с помощью бесконечных прямых сумм; это будет комплекс над F, квазиизоморфный исходному комплексу над E.
Такая конструкция называется "резольвентой Картана-Эйленберга" (неограниченного комплекса). Она используется, примерно так, как описано выше, в конструкции Спалтенштейна гомотопически плоских резольвент квазикогерентных пучков, например. Проблема в том, что совершенно непонятно, что она должна означать, когда вместо абелевой категории пучков имеется только точная. У произвольных (неацикличных) комплексов над точной категорией нет никаких объектов коциклов или когомологий. Иначе эта проблема формулируется так: невозможно, по-видимому, представить комплекс над точной категорией в виде прямого предела комплексов, ограниченных сверху.
Можно рассмотреть такой пример: комплекс модулей над алгеброй A = k[[x]]/(x3), все члены которого суть свободные модули с одной образующей, а дифференциал есть умножение на x2. Как построить ему гомотопически проективную резольвенту, не выходя в рассуждениях за пределы точной категории проективных A-модулей и не зная о существовании точно-функториальных резольвент (т.е., бар-конструкции)?
Может быть, здесь нужна конструкция вложения точной категории в абелеву, согласованного с бесконечными прямыми суммами? Что вообще здесь нужно? Непонятно.
... Помнится, в выпускном классе средней школы я ходил и размышлял о резольвентах неограниченных комплексов, и тогда же впервые услыхал слова "резольвента Картана-Эйленберга". Круг замкнулся: почти четверть века прошло, но как я тогда не понимал ничего, так и сейчас не понимаю. Слово "точная категория", разве что, узнал с тех пор.
