Особое ограничение на замкнутую подсхему
Aug. 18th, 2012 07:50 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКак известно, для любого (минимально разумного) морфизма схем f: Y → X определена пара сопряженных функторов прямого образа f* и обратного образа f* на абелевых категориях квазикогерентных пучков на X и Y. Для замкнутого вложения i: Z → X определен, кроме того, фунтор "особого" обратного образа i! -- сечения с теоретико-схемным носителем в Z.
На самом деле, как известно, функтор f! определен для более-менее любого морфизма схем, но он действует на производных категориях и не является производным функтором какого-либо функтора между абелевыми категориями квазикогерентных пучков. Еще немного точнее будет отметить, что функтор f! между абелевыми категориями квазикогерентных пучков, производным функтором Rf! от которого будет упомянутый функтор между производными категориями, определен, как минимум, для любого конечного морфизма нетеровых схем. Но мы пока ограничимся замкнутыми вложениями.
В случае контрагерентных копучков нужно налагать больше разных условий, поскольку когда функторы на абелевых категориях неточны, аналогичные функторы между точными категориями не везде определены. Тем не менее, для любого морфизма f квазикомпактных полуотделимых схем на подходящих точных подкатегориях точной категории контрагерентных копучков определены функторы прямого и обратного образа, которые у меня обозначаются через f! и f!. Ситуация двойственно-аналогична квазикогерентной, и два функтора эти на контрагерентных копучках сопряжены друг к другу ("там, где они определены") не с той стороны, с которой сопряжены обычные функторы прямого и обратного образа на квазикогерентных пучках. Отсюда и обозначения со значком "!".
Хотелось бы иметь также для контрагерентных копучков аналог функтора особого ограничения на замкнутую подсхему i: Z → X. Это то, что естественно было бы обозначать через i* для контрагерентных копучков. Например, такая вещь может быть необходима для того, чтобы написать для контрагерентных копучков точную последовательность/выделенный треугольник, связанный с замкнутой подсхемой и ее открытым дополнением (если это вообще возможно) и проч. На уровне модулей, этот функтор, очевидно, должен сопоставлять модулю P над коммутативным кольцом R модуль P/IP = S ⊗R P над фактокольцом S = P/I. Вопрос в том, выполнены ли необходимые согласования с условиями приспособленности и проч., и как в этом убедиться.
На самом деле, как известно, функтор f! определен для более-менее любого морфизма схем, но он действует на производных категориях и не является производным функтором какого-либо функтора между абелевыми категориями квазикогерентных пучков. Еще немного точнее будет отметить, что функтор f! между абелевыми категориями квазикогерентных пучков, производным функтором Rf! от которого будет упомянутый функтор между производными категориями, определен, как минимум, для любого конечного морфизма нетеровых схем. Но мы пока ограничимся замкнутыми вложениями.
В случае контрагерентных копучков нужно налагать больше разных условий, поскольку когда функторы на абелевых категориях неточны, аналогичные функторы между точными категориями не везде определены. Тем не менее, для любого морфизма f квазикомпактных полуотделимых схем на подходящих точных подкатегориях точной категории контрагерентных копучков определены функторы прямого и обратного образа, которые у меня обозначаются через f! и f!. Ситуация двойственно-аналогична квазикогерентной, и два функтора эти на контрагерентных копучках сопряжены друг к другу ("там, где они определены") не с той стороны, с которой сопряжены обычные функторы прямого и обратного образа на квазикогерентных пучках. Отсюда и обозначения со значком "!".
Хотелось бы иметь также для контрагерентных копучков аналог функтора особого ограничения на замкнутую подсхему i: Z → X. Это то, что естественно было бы обозначать через i* для контрагерентных копучков. Например, такая вещь может быть необходима для того, чтобы написать для контрагерентных копучков точную последовательность/выделенный треугольник, связанный с замкнутой подсхемой и ее открытым дополнением (если это вообще возможно) и проч. На уровне модулей, этот функтор, очевидно, должен сопоставлять модулю P над коммутативным кольцом R модуль P/IP = S ⊗R P над фактокольцом S = P/I. Вопрос в том, выполнены ли необходимые согласования с условиями приспособленности и проч., и как в этом убедиться.
