![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОкончание http://posic.livejournal.com/824513.html и http://posic.livejournal.com/824808.html
Два наблюдения немедленно следуют из теоремы, доказанной по второй ссылке. Во-первых, в случае F = E мы узнаем, что D(E)hf = D(E), если категория E абелева с точными функторами бесконечных прямых сумм. Во-вторых, мы знаем, что когда F есть точная категория проективных модулей над кольцом, а E -- абелева категория всех модулей, D(F) = Hot(F) ≠ D(E) и D(F)hf есть полная подкатегория гомотопически проективных комплексов в Hot(F). Отсюда видно, что утверждение теоремы неверно, когда точная категория E неабелева.
По-видимому, наиболее существенным образом абелевость E использовалась в рассуждении по ссылке в тот момент, когда мы рассматривали каноническую фильтрацию произвольного комплекса над E. То есть, несуществование канонических фильтраций комплексов над точными категориями имеет такие далеко идущие последствия.
Вопросы:
1. когда E неабелева, имеет ли место эквивалентность категорий D(F)hf = D(E)hf ?
2. когда E неабелева, является ли категория D(E) локализацией Вердье категории D(F), и если так, то можно ли построить сопряженный функтор/полуортогональное разложение, так чтобы D(E) была эквивалентна подходящей подкатегории D(F)hf/E ⊂ D(F) ?
Два наблюдения немедленно следуют из теоремы, доказанной по второй ссылке. Во-первых, в случае F = E мы узнаем, что D(E)hf = D(E), если категория E абелева с точными функторами бесконечных прямых сумм. Во-вторых, мы знаем, что когда F есть точная категория проективных модулей над кольцом, а E -- абелева категория всех модулей, D(F) = Hot(F) ≠ D(E) и D(F)hf есть полная подкатегория гомотопически проективных комплексов в Hot(F). Отсюда видно, что утверждение теоремы неверно, когда точная категория E неабелева.
По-видимому, наиболее существенным образом абелевость E использовалась в рассуждении по ссылке в тот момент, когда мы рассматривали каноническую фильтрацию произвольного комплекса над E. То есть, несуществование канонических фильтраций комплексов над точными категориями имеет такие далеко идущие последствия.
Вопросы:
1. когда E неабелева, имеет ли место эквивалентность категорий D(F)hf = D(E)hf ?
2. когда E неабелева, является ли категория D(E) локализацией Вердье категории D(F), и если так, то можно ли построить сопряженный функтор/полуортогональное разложение, так чтобы D(E) была эквивалентна подходящей подкатегории D(F)hf/E ⊂ D(F) ?
