![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicМои комменты -- https://www.facebook.com/dgcategory/posts/1265179903832980?comment_id=1265227533828217
For the record: я глубоко возмущен бессмысленным издевательством над младшими школьниками, профанирующим саму идею математического образования. Уничтожающим немногие остатки осмысленного, которые когда-либо были в школьном преподавании математики. Превращающим его в такой же праздник бездумного, трусливого, агрессивного конформизма, несовместимого ни с какой самостоятельной мыслью и стремлением к познанию, каким является, к сожалению, почти вся в целом школьная программа и практика ее преподавания.
***
Вообще, мне как немножко вундеркинду видится дикой, нелепой и очень опасной ситуация, когда одни только немножко-вундеркинды (т.е., которые хорошо знают содержание урока, а лучше учебного года, до его начала) и имеют шанс чему-то в итоге научиться. Остальные оказываются безнадежно испорченными уродским принудительным преподаванием.
Скажем, меня примерно об тот момент, когда мой класс начинал проходить в школе таблицу умножения, до глубины души поразил факт некоммутативности возведения в степень. Жертвы этого идиотского на-ровном-месте-конфликтогенного "дважды три не то же самое, что трижды два", боюсь, никогда уже не смогут впечатлиться тем, что два в степени три не равно три в степени два. Там, где могла бы быть радость познания, образуется болезненная мозоль.
For the record: я глубоко возмущен бессмысленным издевательством над младшими школьниками, профанирующим саму идею математического образования. Уничтожающим немногие остатки осмысленного, которые когда-либо были в школьном преподавании математики. Превращающим его в такой же праздник бездумного, трусливого, агрессивного конформизма, несовместимого ни с какой самостоятельной мыслью и стремлением к познанию, каким является, к сожалению, почти вся в целом школьная программа и практика ее преподавания.
***
Вообще, мне как немножко вундеркинду видится дикой, нелепой и очень опасной ситуация, когда одни только немножко-вундеркинды (т.е., которые хорошо знают содержание урока, а лучше учебного года, до его начала) и имеют шанс чему-то в итоге научиться. Остальные оказываются безнадежно испорченными уродским принудительным преподаванием.
Скажем, меня примерно об тот момент, когда мой класс начинал проходить в школе таблицу умножения, до глубины души поразил факт некоммутативности возведения в степень. Жертвы этого идиотского на-ровном-месте-конфликтогенного "дважды три не то же самое, что трижды два", боюсь, никогда уже не смогут впечатлиться тем, что два в степени три не равно три в степени два. Там, где могла бы быть радость познания, образуется болезненная мозоль.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2020-09-20 02:13 am (UTC)Если по сути, то меня тогда поразила (и до сих пор отчасти поражает) разница между переходом от сложения к умножению, сохраняющим коммутативность -- и переходом от умножения к возведению в степень, коммутативность не сохраняющим. Обнаружив эту разницу, я стал спрашивать у родителей: а коли так, то почему умножение коммутативно? Мне отвечали, что это надо понимать геометрически, как площадь прямоугольника, составленного из квадратиков. Мне это объяснение не очень нравилось (с высоты моего нынешнего образования, я предпочел бы говорить о биекции между декартовыми произведениями X × Y и Y × X).
no subject
Date: 2020-09-20 02:17 am (UTC)> Марьиванна прочитала какую-то муть в методичке и вздрючила Вовочку. Тут возможны разные решения:
> 1) марьиванну уволить, нанять новую разумную
> 2) пусть марьиванна не читает муть, а думает сама
> 3) давайте изведём муть из методичек и учебников. Несколько лет этим занимался академик Васильев
> 4) вовочке надо отрастить дзен
3) путь академика Васильева безнадежен, это безусловно.
4) о, за Вовочку можно не беспокоиться! Он отрастит свой дзен, куда ж он денется (за редкими исключениями). Этому дзену есть старинное название -- цинизм. В форме здорового безразличия к разнице между истинными и ложными утверждениями. В особенности во всяких а) связанных с отношениями власти, б) связанных с карьерой и продвижением по службе, и особенно в) научных и околонаучных вопросах.
Потом, как свойственно многим умным циникам, Вовочка сделает карьеру (далеко обойдя преданных делу истины романтичных ботаников). Станет, например, чиновником или околоправительственным экспертом. И развесистому дзену будет простор и раздолье в Вовочкиных научных публикациях, служебных записках и экспертных докладах. Чему в новейшей истории мы тьму примеров слы.
no subject
Date: 2020-09-20 04:44 am (UTC)Я регулярно задаю этот вопрос училкам, поступающим к нам на специальную программу. Половина за 15 минут так и не в состоянии понять, чего от них хотят, вторая половина с грехом пополам и с подсказками добирается до ответа.
Пример со степенями - отличная идея! Возьму на вооружение!
no subject
Date: 2020-09-20 05:13 am (UTC)5 девочек несли в руках по 6 грибов. Сколько всего грибов и сколько девочек?
На 6 грибах сидело по 5 девочек. Сколько всего грибов и сколько девочек?
Это проблема. Взрослые не понимаю проблем детей. Забыли уже, как прятали царапину от родителей, боясь ругани и ампутации в наказание.
no subject
Date: 2020-09-20 05:57 am (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 06:38 am (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 06:48 am (UTC)Короче, школьная программа действительно не может стоять на месте. Она не умеет этого делать, это не церковная догма. Поэтому идут раунды улучшений, каждое из которых (будучи задумано и осуществляемо чиновниками всеблагого и всемогущего государства) предсказуемо ухудшает ситуацию.
Обычно в программу добавляют дополнительный материал. Усложняют и утяжеляют изложение. Чем больше материала в программе, тем больше запутывается массовый школьник и тем меньше знаний ему удается вынести. Сумма ряда улучшений оборачивается бедствием, которое мы и наблюдаем.
За иллюстрацией и примерами можно обратиться к комменту выше. Скажем, я уверен, что вот этого
"5 девочек несли в руках по 6 грибов. Сколько всего грибов и сколько девочек?
На 6 грибах сидело по 5 девочек. Сколько всего грибов и сколько девочек?"
не было в советской младшей школе времен моего детства. Задачи эти непростые, коварные: формально иллюстративные, а по существу запутывающие. Даже если подобные задачи и можно было найти в учебных материалах, роль их в общем курсе была маргинальной. Никто не предполагал, что большинство младших школьников реально научатся их решать. Такие задачи не оказывали давления на методику преподавания центральных понятий курса, не формировали ее. Потом кто-то решил научить этим девочкогрибам всех школьников -- и вот он, результат. Уже дважды три проблематично.
В таком примерно аксепте.
no subject
Date: 2020-09-20 07:31 am (UTC)В принципе, познаний моей бабушки (инженера-конструктора на заводе) и дедушки (бухгалтера-экономиста на другом заводе) было более, чем достаточно для обучения ребенка, сколько будет пять плюс семь. Тут не нужен папа-кандидат физ-мат наук (учившийся в деревенской школе, где его мама, получившая университетское образование, работала учительницей иностранных языков). И никакие книжки не нужны. Можно ступеньки лестницы пересчитывать, пальцы на руках.
А таблицу умножения я обнаружил на задней обложке школьной тетрадки. И очень быстро выучил наизусть, естественно. Не без участия родителей, но в целом скорее сам.
no subject
Date: 2020-09-20 10:37 am (UTC)Мне все-таки интересно - ваши родители, бабушка - дедушка говорили что нибудь о своей учебе в школе - хвалили/ругали ? Мне это интересно потому что они учились до реформы 69-70 года. Мой отец умер в 1972 году - то, как учили его я узнать не успел.
no subject
Date: 2020-09-20 12:15 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 01:11 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 01:16 pm (UTC)Я всего раз или два видел, как училка додумалась до умножения на единицу 1 чел., не меняющую величину, но меняющую размерность ответа.
no subject
Date: 2020-09-20 01:18 pm (UTC)Так с ними не надо приставать к малышам, они понимают вещи не логически, а эмпирически. Но недопустимо, когда с подобными задачами не справляются школьные учителя (настолько, что не понимают, в чём вопрос).
no subject
Date: 2020-09-20 01:22 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 01:41 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 02:55 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 03:35 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 05:27 pm (UTC)Сколько яблок? Двадцать штук. Двадцать чего? Штук. Размерность: штука.
"Математика младших классов должна готовить школьников к физике" -- еще одна вредная благоглупость в ряду перечисленных мною выше. Об мои времена "5 яблок" (а не просто "5") в ответе к задаче по математике в младшей школе были чистой условностью, за которой не стояло никаких попыток исчислять дробные "размерности". Лучше бы так оно и оставалось. Заставь дурака Богу молиться, вот как все это называется.
no subject
Date: 2020-09-20 05:31 pm (UTC)После этого все желающие смогут нанять тех же (или других) учителей в новые частные школы и открыть их двери для тех же школьников. Вот это была бы школьная реформа!
no subject
Date: 2020-09-20 05:42 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-20 07:46 pm (UTC)Вот есть равенство 3+3=2+2+2. Утверждается, что оно очевидно (каждому/нормальному/почти вундеркинду) ребенку без вычислений?
alevaj
no subject
Date: 2020-09-20 08:12 pm (UTC)Ребенок попроще не объяснит, и вообще в принципе не умеет объяснять абстракции и не отличает очевидных утверждений от неочевидных, он не владеет этой концепцией. Он решает задачи в меру своего понимания. Если спросить его, верно ли это, он вычислит и подтвердит, что верно. Если подсказать ему идею про дважды три и трижды два, согласится, что вычислять было необязательно. После этого можно научить его отвечать без вычислений на вопросы про 5+5+5 = 3+3+3+3 vs. 3+3+3+3+3 и т.п.
Снижение оценки за отсутствие понимания при наличии математически корректного, самостоятельно выполненного решения задачи -- недопустимо. Бюрократическая интерпретация понимания как соблюдения правил оформления работ неприемлема.
no subject
Date: 2020-09-20 09:22 pm (UTC)alevaj
no subject
Date: 2020-09-20 10:02 pm (UTC)Я видел таких обсуждений некоторое количество и раньше. Мне всегда казалось из них очевидным, что копья ломаются не вокруг какой-то одной исключительной контрольной или двух исключительных контрольных в жизни школьника. Было ясно, что попытка отличить множимое от множителя в фиксированных обозначениях последовательно проводится на протяжении длительного периода обучения в начальной школе. Со сложными педагогическими целями и обоснованиями, далеко выходящими за пределы необходимости раздельно определить две стороны тождества "коммутативность умножения" прежде, чем сформулировать само тождество.
Собственно, вот первый же всплывший у меня коммент, если кликнуть на картинку, репостнутую Строгановой:
https://www.facebook.com/natalia.grigoryeva.98/posts/10213686590557388?comment_id=10213693351406405
Алевтина Катасонова
Здесь нечему возмущаться. По методике математики для счета 8 х2= 2×8 используется только в решении примеров, а при решении задач исходят из содержания задачи и равенства 8конфет×2= 16 конфет
2 коробки × 8 = 16 коробок для разных задач.
По-моему, ваша успокоительная реконструкция далека от прискорбной реальности.
no subject
Date: 2020-09-20 10:06 pm (UTC)alevaj
no subject
Date: 2020-09-21 10:34 am (UTC)самая моя любимая такая задача, это один грузовик может перевезти 30 тонн груза из Иерусалима в Тель Авив за пять часов. за какое время их смогут перевезти два грузовика.
no subject
Date: 2020-09-21 11:30 am (UTC)Собственно, фундаментальное понятие натурального числа появилось толко тогда, когда мышление доросло до абстракции «одинаковые» (эквивалентные) объекты. Понятно, что все козы разные, но человечество с трудом научилось игнорировать эту разницу. А апофеоз, конечно, случился с изобретением монет. Их специально чеканили настолько одинаковыми, насколько можно, чтоб даже самые тупые убедились в пользе счёта.
no subject
Date: 2020-09-21 12:29 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-21 12:32 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-21 02:34 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-21 02:38 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-21 02:55 pm (UTC)В любом случае, физическое понятие размерности существует не для того, чтобы кто-то складывал (или не складывал) яблоки с грушами и сапоги с пирогами.
Физическая размерность (в меру моего понимания) существует потому, что нет выделенной единицы измерения. Секунда ничем не выделяется по сравнению с тремя секундами, метр ничем не лучше и не хуже ярда или фута. Длина, время или масса -- это не вещественные числа, а элементы (трех разных) ориентированных одномерных векторных пространств над вещественными числами. Соответственно, некоторые физические законы инвариантны относительно действия произведения трех мультипликативных групп вещественных чисел; отсюда "соображения размерности".
no subject
Date: 2020-09-21 03:31 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-21 03:39 pm (UTC)> С чего бы ему быть верным?
Сложение - коммутативно. Умножение "получается" из сложения. И оно тоже коммутативно. Возведение в степень "получается" из умножения "точно также". И вот оно не коммутативно... Спрашивается, почему?
Простите меня пожалуйста за некоторый off topic...
no subject
Date: 2020-09-21 03:40 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-21 03:45 pm (UTC)Эффективно получается, что вы вводите множества, отображения и, может быть, даже комбинаторику до арифметики. Я не возражаю, конечно... Я таки - чайник.
no subject
Date: 2020-09-21 04:18 pm (UTC)Ребенок пересчитывает предметы, не задаваясь фундаментальным вопросом, почему насчитанное число предметов не зависит от того, в каком порядке мы их пересчитываем. Почему в ряду яблок не может оказаться семь штук, если слева считать, а если справа, то шесть?
У вас есть примерно полторы тысячи карточек. Вы их пересчитываете один раз, в одном порядке -- получается 1527. Рассыпали, собрали с пола, пересчитали в другом порядке -- получилось 1528. Вы уверены, что причина расхождения том, что вы ошиблись в счете. Сбились, что-то пропустили и т.д. Не может быть, что оба пересчета верны, а ответы разные. Откуда такая уверенность?
Это фундаментальный факт, можно сказать -- первая теорема математики. Для ребенка это бесспорная данность, очевидный эмпирический факт, не выделяемый как нетривиальное утверждение, не подвергаемый сомнению. Вопрос, как доказать эту первую теорему математики, возникает уже у взрослого (или в любом случае, гораздо более взрослого) математика, гораздо позже.
Из этой первой теоремы математики выводится следствие: коммутативность сложения.
То же и с коммутативностью умножения. Для ребенка, выучившего таблицу умножения, ее симметричность -- очевидная данность. Школьный курс обращает внимание ребенка на этот факт, говорит: вот, смотрите, дети. Перестановочный закон сложения, перестановочный закон умножения. Коммутативность. Плюс еще сочетательный закон сложения, сочетательный закон умножения (ассоциативность). Но потребность понять, почему эти законы верны, возникает или у очень немногих особо продвинутых детей, или в гораздо более позднем возрасте (у тех, кто становятся математиками).
Хороший ответ на вопрос "почему" часто требует привлечения более сложных понятий, чем постановка вопроса. В научной математике, это самое обычное дело: чтобы доказать теорему, нужно ввести новые концепции, новые определения. В процессе изучения математики, особенно на ранних его этапах, самым обычным делом является то, что вещи принимаются как очевидные сначала, а подвергаются сомнению гораздо позже.
Самый трудный аспект этого -- это ранние запреты, которые потом снимаются. Из меньшего нельзя вычесть большее, потом оказывается, что можно. Из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень, потом оказывается, что можно. Синус не может быть больше единицы... на ноль делить нельзя... все эти запреты преподаются (к сожалению) слишком догматически, как абсолютные законы, а потом от них отказываются. В анализе ноль на ноль делить нельзя ("неопределенность"), а ненулевое число поделить на ноль (в опреленном смысле) можно, получится бесконечность.
В общем, процесс познания нелинеен. Он начинается с середины, с непосредственно наблюдаемого, и распространяется в двух направлениях. К фундаменту, основаниям (почему умножение коммутативно? почему число карточек не зависит от того, в каком порядке их пересчитывать?) и к верхним этажам. И вообще говоря, чем выше вы собираетесь строить вверх, тем глубже вам нужно продумать, построить фундамент. Но потребность в этом когда-то там еще возникнет.
no subject
Date: 2020-09-21 04:23 pm (UTC)no subject
Date: 2020-09-21 04:42 pm (UTC)Но ответ состоит в том, что конструкция итерации, производящяя умножение из сложения, а возведение в степень из умножения, не "сохраняет" коммутативность. Коммутативность умножения не следует так прямо из коммутативности сложения и свойств конструкции итерации, а доказывается иначе (как обсуждается выше).
***
Другой пример: можно выписать конструкцию, производящую комплексные числа из вещественных. Вещественные числа -- коммутативное поле и комплексные числа -- коммутативное поле. Применить эту конструкцию к комплексным числам -- получатся кватернионы. Они уже некоммутативны. Применить конструкцию еще раз, к кватернионам -- получатся октавы (числа Кэли). Они даже не ассоцитивны.
Еще раз, к октавам, эту конструкцию лучше уже не применять. Я не помню, что там дальше ломается, но по жизни это уже никто не рассматривает. Хотя нет, помню: как минимум, должны появиться делители нуля. Алгебр без делителей нуля над вещественными числами не бывает в размерностях выше 8.
no subject
Date: 2020-09-21 04:46 pm (UTC)