Re некоммутативность умножения чисел в младшей школе

[posic]

Мои комменты -- https://www.facebook.com/dgcategory/posts/1265179903832980?comment_id=1265227533828217

For the record: я глубоко возмущен бессмысленным издевательством над младшими школьниками, профанирующим саму идею математического образования. Уничтожающим немногие остатки осмысленного, которые когда-либо были в школьном преподавании математики. Превращающим его в такой же праздник бездумного, трусливого, агрессивного конформизма, несовместимого ни с какой самостоятельной мыслью и стремлением к познанию, каким является, к сожалению, почти вся в целом школьная программа и практика ее преподавания.

***

Вообще, мне как немножко вундеркинду видится дикой, нелепой и очень опасной ситуация, когда одни только немножко-вундеркинды (т.е., которые хорошо знают содержание урока, а лучше учебного года, до его начала) и имеют шанс чему-то в итоге научиться. Остальные оказываются безнадежно испорченными уродским принудительным преподаванием.

Скажем, меня примерно об тот момент, когда мой класс начинал проходить в школе таблицу умножения, до глубины души поразил факт некоммутативности возведения в степень. Жертвы этого идиотского на-ровном-месте-конфликтогенного "дважды три не то же самое, что трижды два", боюсь, никогда уже не смогут впечатлиться тем, что два в степени три не равно три в степени два. Там, где могла бы быть радость познания, образуется болезненная мозоль.

Comments

[posic.livejournal.com]

> если уж по сути, то поражаться лучше бы, наверное, было тому, что 2х3 равно 3х2, чем наоборот

Если по сути, то меня тогда поразила (и до сих пор отчасти поражает) разница между переходом от сложения к умножению, сохраняющим коммутативность -- и переходом от умножения к возведению в степень, коммутативность не сохраняющим. Обнаружив эту разницу, я стал спрашивать у родителей: а коли так, то почему умножение коммутативно? Мне отвечали, что это надо понимать геометрически, как площадь прямоугольника, составленного из квадратиков. Мне это объяснение не очень нравилось (с высоты моего нынешнего образования, я предпочел бы говорить о биекции между декартовыми произведениями X × Y и Y × X).

[aklepatc.livejournal.com]

Объясните пожалуйста для чайников, как тут помогает биекция. То есть да, она есть, ну и что?

[posic.livejournal.com]

Если между двумя конечными множествами есть биекция, то в них одинаковое число элементов. Биекция между X × Y и Y × X доказывает, что x*y = y*x (где x = |X| и y = |Y| -- число элементов в X и Y). Это тот самый аргумент с "построением солдатиков в каре", который упоминается ниже.

[aklepatc.livejournal.com]

Здорово! Т.е. вы "определяете" умножение как число элементов в Декартовом произведении? Если так, то понятно.

[posic.livejournal.com]

Так ведь это оно и есть. Что такое x + x + ... + x (у раз)? Рассмотрите прямоугольник со сторонами x и y, и пересчитывайте клеточки в нем: x в первой строке, x во второй строке, и т.д., всего y строк. А теперь иначе: y в первом столбце, y во втором столбце, и т.д., всего x столбцов. Ну, а биекция между X × Y и Y × X просто меняет местами строки и столбцы.

[aklepatc.livejournal.com]

Очень здорово. Надо думать...
Эффективно получается, что вы вводите множества, отображения и, может быть, даже комбинаторику до арифметики. Я не возражаю, конечно... Я таки - чайник.

[posic.livejournal.com]

Курс математики не является линейной логической последовательностью (если это не трактат Бурбаки, который невозможно читать подряд).

Ребенок пересчитывает предметы, не задаваясь фундаментальным вопросом, почему насчитанное число предметов не зависит от того, в каком порядке мы их пересчитываем. Почему в ряду яблок не может оказаться семь штук, если слева считать, а если справа, то шесть?

У вас есть примерно полторы тысячи карточек. Вы их пересчитываете один раз, в одном порядке -- получается 1527. Рассыпали, собрали с пола, пересчитали в другом порядке -- получилось 1528. Вы уверены, что причина расхождения том, что вы ошиблись в счете. Сбились, что-то пропустили и т.д. Не может быть, что оба пересчета верны, а ответы разные. Откуда такая уверенность?

Это фундаментальный факт, можно сказать -- первая теорема математики. Для ребенка это бесспорная данность, очевидный эмпирический факт, не выделяемый как нетривиальное утверждение, не подвергаемый сомнению. Вопрос, как доказать эту первую теорему математики, возникает уже у взрослого (или в любом случае, гораздо более взрослого) математика, гораздо позже.

Из этой первой теоремы математики выводится следствие: коммутативность сложения.

То же и с коммутативностью умножения. Для ребенка, выучившего таблицу умножения, ее симметричность -- очевидная данность. Школьный курс обращает внимание ребенка на этот факт, говорит: вот, смотрите, дети. Перестановочный закон сложения, перестановочный закон умножения. Коммутативность. Плюс еще сочетательный закон сложения, сочетательный закон умножения (ассоциативность). Но потребность понять, почему эти законы верны, возникает или у очень немногих особо продвинутых детей, или в гораздо более позднем возрасте (у тех, кто становятся математиками).

Хороший ответ на вопрос "почему" часто требует привлечения более сложных понятий, чем постановка вопроса. В научной математике, это самое обычное дело: чтобы доказать теорему, нужно ввести новые концепции, новые определения. В процессе изучения математики, особенно на ранних его этапах, самым обычным делом является то, что вещи принимаются как очевидные сначала, а подвергаются сомнению гораздо позже.

Самый трудный аспект этого -- это ранние запреты, которые потом снимаются. Из меньшего нельзя вычесть большее, потом оказывается, что можно. Из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень, потом оказывается, что можно. Синус не может быть больше единицы... на ноль делить нельзя... все эти запреты преподаются (к сожалению) слишком догматически, как абсолютные законы, а потом от них отказываются. В анализе ноль на ноль делить нельзя ("неопределенность"), а ненулевое число поделить на ноль (в опреленном смысле) можно, получится бесконечность.

В общем, процесс познания нелинеен. Он начинается с середины, с непосредственно наблюдаемого, и распространяется в двух направлениях. К фундаменту, основаниям (почему умножение коммутативно? почему число карточек не зависит от того, в каком порядке их пересчитывать?) и к верхним этажам. И вообще говоря, чем выше вы собираетесь строить вверх, тем глубже вам нужно продумать, построить фундамент. Но потребность в этом когда-то там еще возникнет.

[aklepatc.livejournal.com]

Отлично написано! Спасибо.