Педагогическое - 2

[posic]

Надо ли учить детей школьного возраста, ну скажем, технике символьных преобразований алгебраических выражений? Нетрудно видеть, что любой однозначный ответ на этот идиотский вопрос означает беду.

Без символьных преобразований нет алгебры, без алгебры нет математики, без математики нет физики, без физики нет инженерного дела, без инженерного дела нет технического прогресса. Если детей таким вещам не учить, цивилизация не сможет развиваться, в конечном итоге человечество будет обречено на деградацию и гибель.

Большинство детей, видимо, не способны полноценно освоить технику преобразований алгебраических выражений, да и уговорить их приложить нетривиальные усилия к изучению этого дела разумным образом невозможно, поскольку в жизни оно им не понадобится и они это понимают. Если детей через силу этому учить, они вырастут несчастными закомплексованными людьми, навсегда убежденными в своей никчемности по причине неспособности упростить выражение. Такие люди устроят какую-нибудь катастрофу.

Пора бы уже взрослым освоить такую математическую идею, как разница между кванторами "для любого" и "существует". Учить предмету X тех детей, кому он интересен. Уговаривать до определенной степени освоить X тех, кому X не очень интересен, но у кого есть склонность к одному из смежных предметов, для работы с которым желательно обладать некоторым пониманием X. Остальных не учить.

Comments

[bbb.livejournal.com]

А ты уверен, что можно быть уверенным в интересе ребенка к такому сложному предмету БЕЗ, ДО и ВНЕ предшествующего "принудительного" обучения? Что этот интерес полноценно и окончательно проявляется именно в таком раннем возрасте?

[posic.livejournal.com]

Уверен, что всех, за редчайшими исключениями, сколько-нибудь хороших математиков никогда никакой математике принудительно не учили. Думаю, подавляющее большинство математиков алгебраического склада мышления проявляли немедленный интерес к упомянутому предмету, как только он был им продемонстрирован и сохраняли такой интерес все то недолгое время, которое им требовалось, чтобы сей предмет освоить. Математикам-геометрам или аналитикам это дело, вероятно, было скучновато или не сразу достаточно понятно, но все же ничего похожего на настоящее принуждение с угрозой сурового наказания не требовало; так же и почти всем хорошим теорфизикам, программистам и т.д.

Сам я овладел идеей символьного преобразования, кажется, в 7 или 8 лет. Помню, я лежал в постели, засыпая, и перебирал в голове таблицу умножения, как вдруг заметил, что квадрат каждого числа на единицу больше, чем произведение следующего и предыдущего чисел (7*7=49, 8*6=48). Наутро рассказал родителям, и папа мне показал, что можно написать (n-1)(n+1) и раскрыть скобки. Я был совершенно счастлив. Ну, и стал алгебраистом. А вот задачу написания явной общей формулы для суммы 1^k + 2^k + ... + n^k (n и k натуральные) я лет в 11-12 все решал-решал, да так и не дорешал, и хотя какой-то длинный ответ получил, но в правильности его убедить себя не смог (это, как много позже выяснилось, задача по анализу на самом деле).

[bbb.livejournal.com]

При чем тут математики? Ты же вроде сам привел цепочку, согласно которой без этого самого невозможно получить самых простых рядовых инженеров. "Хорошие математики" (то есть творческие математики, привносящие что-то в математическую науку, и даже не что-то, а ого-го что) - товар редкий и штучный, уже обычных вузовских преподавателей математики необходимо, вероятно, в несколько тысяч раз больше, а про людей инженерно-технической специальности и говорить не приходится, их необходимо, думаю, как минимум в несколько миллионов раз больше. Поэтому пример "хороших математиков" здесь ничего не подтверждает.

[posic.livejournal.com]

Так вузовские преподаватели математики в США — это и есть профессиональные математики, защитившие диссертацию Ph.D. Они не настоящие творческие математики, да, но чтобы читать calculus инженерам, не обязательно уметь упрощать выражение со средней школы, достаточно в вузе это дело освоить, когда человек уже поработоспособнее и поусерднее. А людям инженерно-технической специальности вовсе и не обязательно уметь упрощать выражение, и большинство, думаю, не умеет. Хотя им полезно было бы это уметь, да -- но тут просто нужен педагог классом повыше, чем в типичной школе или вузе. Плюс, как я уже написал, ребенку с инженерно-техническими интересами можно объяснить, что математика пригодится ему в жизни, не используя таких аргументов, как угроза попасть во вспомогательную школу с массой откровенно умственно отсталых детей или подвергнуться жестокому убийству в советской армии. А школьным учителем математики, по хорошему, должен быть человек со смешанным интересом к математике и педагогике -- с упором на математику, если он будет учить сильных детей и с упором на педагогику, если слабых -- но уж всяко не такой человек, которого учили математике через силу.

Цепочка же моя была, что если не будет творческих математиков, то через поколение не будет никаких математиков, еще через поколение не будет творческих физиков, еще через поколение никаких физиков не будет, еще через поколение творческих инженеров не будет, еще через поколение не будет никаких инженеров.

[bbb.livejournal.com]

То есть детям с инженерно-технической ориентацией математика в школе не так уж и нужна? При этом инженерно-техническая ориентация - штука гораздо менее, так сказать, таланто-интенсивная. То есть инженером может быть человек, вовсе не обязательно с детства демонстрирующий склонность к этой специальности.

[leblon.livejournal.com]

"Помню, я лежал в постели, засыпая, и перебирал в голове таблицу умножения, как вдруг заметил, что квадрат каждого числа на единицу больше, чем произведение следующего и предыдущего чисел (7*7=49, 8*6=48). Наутро рассказал родителям, и папа мне показал, что можно написать (n-1)(n+1) и раскрыть скобки. Я был совершенно счастлив. Ну, и стал алгебраистом."

Забавно: я тоже в какой-то момент самостоятельно "открыл" тот же самый факт и очень был горд этим. Правда, на меня еще большее впечатление призвела (позже, лет в 10-11) книга Розы Петер "Игра с бесконечностью". Там, в частности, рассказывается про происхождение анализа бесконечно малых. Я ужасно радовался поняв, наконец, что такое производная, и как посчитать производную многочлена. Потом целый год учился интегрировать и решать обыкновенные дифуры. Даже в пионерском лагере :)

[posic.livejournal.com]

Забавно, да: как раз обыкновенные дифуры меня никогда не увлекали, хотя мне мама и показывала, в связи с моими занятиями школьной физикой, как разделять переменные и прочее. Я за эти дифуры получил свой единственный на мехмате незачет (мне было заявлено, что хотя я мое решение задачи и верно, но владение методом вариации произвольной постоянной не наблюдается).

[sowa.livejournal.com]

Я примерно в том же возрасте интересовался той же задачей про сумму степеней. Мне помнится, что я нашел способ найти формулу для каждого конкретного k, и реализовал его для 4,5 или 5,6. Общей формулы не нашел. :-)


А почему вы думаете, что это задача по анализу? Элементарная теория чисел или комбинаторика, мне кажется.

[posic.livejournal.com]

Для каждого конкретного k я тоже умел, конечно. Это задача, как я осознал совсем недавно, ровно в точности на формулу Эйлера-Маклорена. Сумма значений f(m) по натуральным m от 1 до n выражается в виде ряда: главный член -- интеграл f от 1 до m, во второй член входят значения f на концах отрезка, в следующий член -- значения производных f на концах отрезка, и так далее. Коэффициентами являются числа Бернулли. В типичной ситуации этот ряд очень сильно расходится, но значения его частичных сумм выпадают поочередно то слева, то справа от значения искомой суммы f(m) и, прежде чем начать быстро возрастать, члены ряда могут некоторое время быстро убывать, в результате чего частичные суммы ряда близко подходят к искомой сумме значений f, прежде чем начать разбегаться. Так можно вычислять на калькуляторе некоторые иррациональности, вроде е и пи. Ну, а для многочлена f ряд Э.-М. стабилизируется и, разумеется, сходится куда ему положено, так что он и есть ответ. Интеграл, производные, числа Бернулли -- с точки зрения ребенка всяко анализ.

[misaile.livejournal.com]

Забавно, насколько стандартны детские открытия...

Имхо: "принудительное обучение" есть неизбежный элемент детского обучения вообще (кроме, м.б., отдельных гениев) - без него проблематично вообще воспитать какую-либо интеллектуальную дисциплину. Ваш мессидж, соответственно, для меня сводится к постановке вопроса о том, что математика таким интеллектуально-дисциплинарным полигоном быть не должна. Думаю, что фанаты древних языков в былые времена (когда эти предметы выполняли подобную функцию) могли бы точно также защищать свои предметы от грубого школярства...

Пример по теме: полтора года назад мне в Питере свалился на голову некий 17-летний беспризорник, которого я с той поры опекаю. Имел ~ 5 реальных классов школы + некоторую начитанность-нахватанность. С талантливым, но совершенно недисциплинированным мышлением и с отвращением к математике, на примере которой (и именно с тех формул + устный счет) я и стал вбивать в него элементарные дисциплинарные навыки (при этом никакой практической заинтересованности с его стороны, поскольку до сих пор уверен, что оно ему не надо и не пригодится - просто это было МНЕ удобнее)...
Сейчас он неплохо учится в путяге и с восхищением штудирует Сенеку (и что-то понимает!)...

[sowa.livejournal.com]

"Забавно, насколько стандартны детские открытия..."

Настолько, насколько стадартны предлагаемые детям книги и задачки в кружках.

[posic.livejournal.com]

Нет, речь у меня, конечно, о том, что никакие предметы не должны преподаваться через силу. Математика избрана как пример исключительно в противовес распространенной ситуации, когда специалист настаивает на максимальной глубине и объеме школьного преподавания своего предмета, а проблему добровольности вообще игнорирует или даже заявляет, что его предмет надо изучать всем ввиду его универсальной значимости ("математика ум в порядок приводит" и прочая белиберда).

[avzel.livejournal.com]

Учить предмету X тех детей, кому он интерен. Уговаривать до определенной степени освоить X тех, кому X не очень интересен, но у кого есть склонность к одному из смежных предметов, для работы с которым желательно обладать некоторым пониманием X. Остальных не учить. А как на практике осуществлять такое разделение?

[posic.livejournal.com]

Вообще-то это задача для собственника и менеджера полноценно частной, не- или малорегулируемой, частно-финансируемой школы в конкурентной среде, а не для дискутантов в ЖЖ. Тем не менее, я держу в голове следующую схему.

Начиная с начала средней школы может происходить плавный переход от системы "школа как мы ее знаем" к системе "колледж как мы его знаем". То есть, скажем, в 5-м классе всех детей еще учат одному и тому же набору предметов, разбив их, по каждому предмету независимо, по итогам тестирования, на сильную и слабую группы, и назначив педагогов с соответствующей специализацией. По прошествии года один самый нелюбимый предмет можно больше не изучать, выбрав вместо него углубленный курс по одному из заинтересовавших предметов. Далее итерировать. К концу школы ребенок естественным образом приблизительно знает, кем он хочет стать (перед ним не стоит пугающая задача одномоментного "выбора профессии") и имеет определенную подготовку по кругу предметов, смежных с его будущей основной специальностью. Ну, а другой ребенок может захотеть получить широкое, но не настолько глубокое, энциклопедическое школьное образование.

Понятно, что такая система предполагает ключевую фигуру представителя "учебной части" -- широко образованного педагога, обсуждающего и утверждающего с ребенком и его родителями выбор курсов на очередные полгода-год.

[avzel.livejournal.com]

Тогда такая программа вроде бы уже более или менее реализована практически во всех американских школах: после приобретения сравнительно небольшого набора обязательных для всех сведений, выбор программы обучения вполне индивидуальный (вопроса качества обучения я не касаюсь), так что нелюбимые предметы можно изучать по минимуму, а более любимые - углубленно. У меня нет четкого мнения, насколько это предпочтительнее жесткой программы (может быть, важнее всего - качество учителей).

[posic.livejournal.com]

Индивидуальный выбор программы по окончании младшей школы? И после этого они все равно не знают, на кого хотят учиться, на момент поступления в колледж? Ну, не знаю. И как это сочетается, например, с постоянными баталиями на тему преподавания дарвинизма -- отказаться от курса эволюционной биологии как особенно нелюбимого ребенок из религиозной семьи не может?

[olga-zv.livejournal.com]

> Если детей через силу этому учить, они вырастут несчастными закомплексованными людьми, навсегда убежденными в своей никчемности по причине неспособности упростить выражение. Такие люди устроят какую-нибудь катастрофу.

Мне представляется, что в этом гораздо бОльшую роль играет личность и педагогические умения школьного учителя, а вовсе не предрасположенность ученика. Несчастным и закомплексованным ребенок станет не от того, что у него что-то не получается (у каждого человека в жизни много что не получается), а оттого, КАК на это реагируют окружающие, учитель в том числе. Ну а если уж совсем ребенок не в силах понять несложный школьный курс математики, тогда да... Но тогда, думаю, он и с кучей других проблем столкнется.
А взрослые от освоения разницы между кванторами "для любого" и "существует" не пострадают? Это проще, чем выражения преобразовывать? :)

[posic.livejournal.com]

Как школьный педагог реагирует на то, что у ребенка что-то не получается, дело известное. У педагога задача номер один, заставить учиться тех, кто научиться мог бы, если изрядно потрудится, да только им трудиться не хочется и скучно. Если те, кто научиться (у данного учителя) таки в принципе не могут, сидят рядом и демонстрирует безнаказанное полнейшее невладение предметом, то и те, кому просто скучно и не хочется, не будут учиться, а будут лениться. Поэтому нужно изо всех сил мучить тех, кто предметом все равно не овладеет и кому эти мучения не принесут ни малейшей пользы, дабы другие, видя страдания тех, кто выучиться не может, не думали лениться. Детям будут объяснять, какие они неполноценные, что не могут усвоить курс, как полезно им было бы, усвоив его, преодолеть-таки эту свою неполноценность, как они не сдадут экзамен, не получат аттестата, не поступят в вуз, как вся жизнь их пойдет прахом. Их родителей будут вызывать в школу и уговаривать хорошенько поиздеваться над своим ребенком дома, и родители будут их наказывать, орать на них и избивать. И да, после того, как их мучили, чтобы другие боялись, эти дети, неспособные усвоить из уст плохого учителя далеко не тривиальный, очень далекий от всего бытового, привычного, знакомого, совершенно им ненужный школьный курс математики, -- столкнутся в жизни с кучей проблем, порожденных этим неслабым жизненным опытом, именно так. Я был таким ребенком, которого бессмысленно мучили на совершенно мне ненужных уроках литературоведения ("литературы"), встречал и весьма литературно-артистически одаренного человека, которого бессмысленно мучили на совершенно ей ненужных уроках математики.

А разница между "для любого" и "существует" проще, да. И принудительного обучения детей или взрослых моим или чьим-либо взглядам на вопросы образовательной политики я не желаю ни в малейшей мере, нет.

[chaource.livejournal.com]

Въ каждомъ обществѣ стоитъ эта проблема: какъ и чему учить въ школахъ. Насколько я понимаю, Россія много взяла у традиціонной Франціи въ этомъ отношеніи: перегруженная программа, муштровка по точнымъ наукамъ, воспитаніе комплекса неполноцѣнности у тѣхъ, кто можетъ неплохо учиться, но не на пятёрку и поэтому не можетъ поступить въ лучшіе вузы и т.д. Всё равно получается что-то среднее, и индивидуальные таланты (какъ учителей, такъ и учениковъ) играютъ огромную роль. Никто не знаетъ, "какъ надо" учить въ школѣ, "чтобы было всѣмъ хорошо". Въ каждой странѣ постоянно идутъ обсужденія этой проблемы.

Мнѣ категорически не нравилось, какъ меня учили въ школѣ, кромѣ уроковъ математики и физики. Означаетъ ли это, что у меня не было способностей, скажемъ, къ географіи, біологіи, исторіи, литературѣ, иностраннымъ языкамъ, рисованію, и военному дѣлу? Означаетъ ли это, что меня надо было больше заставлять, или наоборотъ, надо было меня отъ этихъ уроковъ освободить? Я бы сказалъ такъ: надо было другихъ учителей, другие учебники, другую программу, и другую психологическую атмосферу.

[posic.livejournal.com]

Ситуация с такими обсуждениями, это как если бы в СССР появилась свобода слова и интеллигентная публика принялась обсуждать внедрение передовых технологии сельского хозяйства и обувной промышленности. Обсуждение конкретных реформ школьного образования за рамками общих требований разгосударствления -- дело в конечном счете безнадежное, и я с полным осознанием этого обстоятельства поднимаю здесь эти вопросы. Моя цель -- указать на фундаментальные идеи и необходимые требования к школьному образованию, которым не удовлетворяет существующая система, дополнительно подчеркнув тем самым ее неадекватность.

[olga-zv.livejournal.com]

Только что обнаружила в статье "Множества рядов Гильберта", что с детства знакомый мне и уважаемый Дм. Пионтковский выражает Вам благодарность за полезные замечания. Респект! :)

[chaource.livejournal.com]

Вотъ хотѣлъ бы возобновить дискуссію о томъ, чему нужно учить по математикѣ.

Посмотрѣлъ въ книгу Lieb, Loss Analysis. Большой, толстый учебник. Открылъ наугадъ и читаю про теорію мѣры. Теорема 987: Если существуетъ верхне-нижне-полу-равномѣрно-непрерывная мѣра на полу-недо-сигма-алгебрѣ, то её можно продолжить до абсолютно-равномѣрно-полу-нижне-верхне-непрерывной мѣры на нѣкоемъ расширенномъ множествѣ. "Это очень мощная идея о продолженіи мѣры, которая принадлежитъ Каратеодори..."

Вопросъ у меня такой: нужно ли изучать такія теоремы?

Правда, передъ этой теоремой написано, что "мы её использовать вообще-то не будемъ". Для физика теорія мѣры - это наведеніе ненужнаго лоска на знакъ интеграла. Если въ физикѣ встречается неизмѣримая функція, то это, во-первыхъ, очень рѣдкое явленіе, и во-вторыхъ, его надо изследовать особо, чтобы понять, почему это такъ вдругъ получилось. Обычно это означаетъ, что физическое явленіе въ данномъ случаѣ какое-то не такое, как обычно. Напримѣръ въ квантовой механикѣ, частица либо можетъ выйти на безконечность, либо не можетъ, и это два качественно разныхъ случая. Въ первомъ случаѣ, волновая функція лежитъ въ гильбертовомъ пространствѣ, во второмъ случаѣ - нѣтъ. Но знаніе общихъ теоремъ объ измѣримости тутъ не помогаетъ, это уже физика, т.е. знаніе того, какъ интерпретировать разные математическіе объекты.

Я готовъ принять, что такого рода теоремы важны для математики, хотя и не важны для физики, поэтому я посмотрѣлъ на другую теорему изъ той же книги. Теорема называлась "принципъ ванны" (Bathtub principle). Она была сформулирована чисто абстрактно: для функціонала такого-то вида, разсмотримъ такія-то условія, тогда минимумъ достигается на такихъ-то функціяхъ. На видъ, какія-то очень сложныя и произвольныя условія, непонятно, что это всё значитъ. А потомъ был маленькій абзацъ съ поясненіемъ: "Чтобы понять, гдѣ тутъ ванна, представьте себѣ, что f(x) это профиль ванны, g(x) это плотность жидкости" и т.д.Однако это поясненіе было такимъ краткимъ, что я вынужденъ былъ опять возвратиться къ формуламъ и читать ихъ заново, пытаясь догадаться, "гдѣ тамъ ванна". Черезъ пару минутъ догадался: рѣчь шла о распредѣленіи жидкости въ ваннѣ, при которомъ потенціальная энергія въ полѣ тяжести Земли минимальна. Мнѣ было бы гораздо легче, если бы авторы написали слова "потенціальная энергия" хотя бы (но тамъ, конечно, такихъ словъ не было).

Мой вопросъ: правильно ли такъ писать книги по математикѣ? Если бы начать съ картинки и объяснить про ванну, то вся теорема стала бы наглядной и очевидной. Но можетъ быть это вредно для математиковъ, когда утвержденія дѣлаются въ наглядной формѣ? Можетъ быть, студентовъ-математиковъ вотъ такъ именно и надо муштровать непонятными текстами и скупыми поясненіями, чтобы они учились догадываться и сами "просѣкать", какіе наглядные образы соотвѣтствуютъ абстрактнымъ понятіямъ?

[posic.livejournal.com]

Уверен ли ты, что правильно понимаешь термин "неизмеримая функция"? Функции, интегралы от которых расходятся, к неизмеримым функциям никакого отношения не имеют. Функция измерима, если прообраз борелевского множества измерим. Для доказательства существования неизмеримых функций или множеств необходима аксиома выбора; указать же на одну конкретную такую функцию в принципе невозможно. Если неизмеримые функции вообще встречаются в физике, особенно в контексте обычного интегрирования по конечномерным вещественным пространствам, а не каких-нибудь фейнмановских интегралов, то это поразительно.

Теоремы о продолжении меры и впрямь зубодробительны, но ничего сложного в них нет, все это можно изучить за два дня. О них полезно иметь представление всякому, кто занимается теорией вероятностей или интегрированием по сколько-нибудь сложным пространствам. В этой связи надо сказать, что важные примеры мер в математике далеко не ограничиваются мерой Лебега в конечномерном вещественном пространстве или даже на вещественном многообразии. В диссертации Тейта функциональное уравнение для дзета-функции произвольного числового поля выводится с помощью интегрирования по p-адическим числам и аделям. Далее, есть мера Хаара на произвольной локально-компактной группе, и там есть преобразование Фурье и т.д. Все это математику очень полезно иметь в виду.

Что касается наглядности. Конечно, если в книжке по математике приводится аналогия из физики, которая даже физику не сразу понятна, то математики ее тем более не поймут; это значит, что она просто сообщается "для сведения". Лучше было бы разжевать ее подробно. Но такие аналогии лежат за пределами математики. Математик -- это как правило такой человек, для которого математические объекты нагляднее объектов физического мира. Могу поделиться собственным опытом: из всех математических сюжетов, про которые я ребенком лет 10-12 читал в журнале "Квант", слышал от родителей и т.д., меня больше всего пугали и огорчали разговоры о сферах с ручками, мыльных пленках, и т.д. Я никогда не мог понять, что имеется в виду и каким образом это может считаться математическими объектами. Вещественные числа меня почему-то не смущали (да я уже и знал про дедекиндовы сечения годам к 11). Услышав чуть позже, лет в 13 где-то, определение гладкого многообразия, я был совершенно счастлив: оказывается, математика знает, что такое поверхность и сфера с ручками!

Поэтому да, математикам нужны тексты с теоремами об абстрактных понятиях -- с хорошим изложением, удачными определениями, продуманными формулировками, с доказательствами, проясняющими взаимосвязь идей. Другое дело, что были бы, видимо, очень полезны учебники математики для физиков и учебники физики для математиков. Особенно на уровне разделов, более сложных, чем теория меры.

[chaource.livejournal.com]

По поводу неизмђримой функціи - ты правъ. Я смђшалъ понятія измђримости и интегрируемости. Конечно, неизмђримыхъ по Лебегу функцій въ физикђ нђтъ. Есть однако разные другие случаи, напримђръ измђримость или неизмђримость случайныхъ процессовъ по какой-то сигма-алгебрђ. Это уже имђетъ шансъ быть полезнымъ въ физикђ. Мђра на группахъ тоже очень полезна, но я бы сказалъ, что полезна сама возможность интегрировать, т.е. писать знакъ интеграла и дђлать вычисленія, формально похожія на интегрированіе по частямъ, оцђнки подъинтегральнаго выраженія сверху и т.д. Подробности того, какъ опредђлить мђру, по-моему не очень важны для физики.

Твой примђръ съ многообразіемъ интересный. Тогда такой вопросъ: вотъ мы опредђлили многообразіе съ помощью картъ, функцій переклейки и т.д., такъ что "настоящій математикъ" доволенъ. Мыслитъ ли "настоящій математикъ" на самомъ дђлђ съ помощью картъ и переклейки, или въ головђ есть картинка "мыльной плёнки"? У меня напримђръ вся эта тягомотина съ переклейкой вызываетъ чувство раздраженія - чувство, что это только для формальной строгости придумали, а по-настоящему используется что-то другое. Я никогда не разсказываю студентамъ-физикамъ про переклейку, пока они не поняли, какъ считать какіе-то вещи на сферической повернхости въ координатахъ.

[posic.livejournal.com]

Как математик мыслит себе многообразие, вопрос слишком общий; мой пример специфичен для меня. Я не геометр; вероятно, у математиков, более близких к геометрии или физике, или просто менее зацикленных на строгости, разговор о мыльных пленках не вызывает недоумения настолько сильного. (Отступление: я, по правде сказать, и сейчас не понимаю, что такое мыльная пленка. Я знаю, что такое многообразие с краем; но мыльные пленки, которые я видел, не являются многообразиями с краем. У них бывают довольно сложные самопересечения неясной мне природы. Скажем, когда два пузыря слипаются, образуется фигура с топологическим типом сферы, в которую изнутри вклеен диск. Конечно, по такой штуке можно интегрировать или рассматривать ее как клеточное топологическое пространство...)

Да, я не знаю, какими зрительными образами пользуются другие математики, но это и не имеет значения. Работать с понятием приходится, пользуясь его определением -- наиболее удачным из существующих. В.И.Арнольд потратил много времени, пропагандируя идею, что лучше определять гладкое многообразие как подмножество вещественного аффинного пространства с определенными свойствами, а группу -- как множество отображений другого множества в себя с определенными свойствами. Я решительно не разделяю эти идеи, но это, по крайней мере, вопрос такого рода, по которому мнения математиков могут расходиться. Для меня многообразие -- это такая вещь, маленький кусочек которой устроен как какая-то область навроде шара в аффинном пространстве, а глобальное устройство неизвестно.

Необходимость работать в математике со строгими определениями, теоремами и доказательствами, отсутствие альтернативы этому подходу -- вопрос бесспорный. Так и с мерой на группе -- прежде чем писать знак интеграла и делать вычисления, нужно как-то убедиться, что предположение существования односторонне-инвариантной меры не ведет к противоречию (в то время как в случае двусторонне-инвариантной меры таки ведет). Математику нужно, я имею в виду. Хотя бы уже потому, что когда у математика выводится противоречие, это во всех отношениях очень неприятно. Как субъективно-психологически, так и в смысле того, как с этим работать потом.