Педагогическое - 2

[posic]

Надо ли учить детей школьного возраста, ну скажем, технике символьных преобразований алгебраических выражений? Нетрудно видеть, что любой однозначный ответ на этот идиотский вопрос означает беду.

Без символьных преобразований нет алгебры, без алгебры нет математики, без математики нет физики, без физики нет инженерного дела, без инженерного дела нет технического прогресса. Если детей таким вещам не учить, цивилизация не сможет развиваться, в конечном итоге человечество будет обречено на деградацию и гибель.

Большинство детей, видимо, не способны полноценно освоить технику преобразований алгебраических выражений, да и уговорить их приложить нетривиальные усилия к изучению этого дела разумным образом невозможно, поскольку в жизни оно им не понадобится и они это понимают. Если детей через силу этому учить, они вырастут несчастными закомплексованными людьми, навсегда убежденными в своей никчемности по причине неспособности упростить выражение. Такие люди устроят какую-нибудь катастрофу.

Пора бы уже взрослым освоить такую математическую идею, как разница между кванторами "для любого" и "существует". Учить предмету X тех детей, кому он интересен. Уговаривать до определенной степени освоить X тех, кому X не очень интересен, но у кого есть склонность к одному из смежных предметов, для работы с которым желательно обладать некоторым пониманием X. Остальных не учить.

Comments

[chaource.livejournal.com]

Вотъ хотѣлъ бы возобновить дискуссію о томъ, чему нужно учить по математикѣ.

Посмотрѣлъ въ книгу Lieb, Loss Analysis. Большой, толстый учебник. Открылъ наугадъ и читаю про теорію мѣры. Теорема 987: Если существуетъ верхне-нижне-полу-равномѣрно-непрерывная мѣра на полу-недо-сигма-алгебрѣ, то её можно продолжить до абсолютно-равномѣрно-полу-нижне-верхне-непрерывной мѣры на нѣкоемъ расширенномъ множествѣ. "Это очень мощная идея о продолженіи мѣры, которая принадлежитъ Каратеодори..."

Вопросъ у меня такой: нужно ли изучать такія теоремы?

Правда, передъ этой теоремой написано, что "мы её использовать вообще-то не будемъ". Для физика теорія мѣры - это наведеніе ненужнаго лоска на знакъ интеграла. Если въ физикѣ встречается неизмѣримая функція, то это, во-первыхъ, очень рѣдкое явленіе, и во-вторыхъ, его надо изследовать особо, чтобы понять, почему это такъ вдругъ получилось. Обычно это означаетъ, что физическое явленіе въ данномъ случаѣ какое-то не такое, как обычно. Напримѣръ въ квантовой механикѣ, частица либо можетъ выйти на безконечность, либо не можетъ, и это два качественно разныхъ случая. Въ первомъ случаѣ, волновая функція лежитъ въ гильбертовомъ пространствѣ, во второмъ случаѣ - нѣтъ. Но знаніе общихъ теоремъ объ измѣримости тутъ не помогаетъ, это уже физика, т.е. знаніе того, какъ интерпретировать разные математическіе объекты.

Я готовъ принять, что такого рода теоремы важны для математики, хотя и не важны для физики, поэтому я посмотрѣлъ на другую теорему изъ той же книги. Теорема называлась "принципъ ванны" (Bathtub principle). Она была сформулирована чисто абстрактно: для функціонала такого-то вида, разсмотримъ такія-то условія, тогда минимумъ достигается на такихъ-то функціяхъ. На видъ, какія-то очень сложныя и произвольныя условія, непонятно, что это всё значитъ. А потомъ был маленькій абзацъ съ поясненіемъ: "Чтобы понять, гдѣ тутъ ванна, представьте себѣ, что f(x) это профиль ванны, g(x) это плотность жидкости" и т.д.Однако это поясненіе было такимъ краткимъ, что я вынужденъ былъ опять возвратиться къ формуламъ и читать ихъ заново, пытаясь догадаться, "гдѣ тамъ ванна". Черезъ пару минутъ догадался: рѣчь шла о распредѣленіи жидкости въ ваннѣ, при которомъ потенціальная энергія въ полѣ тяжести Земли минимальна. Мнѣ было бы гораздо легче, если бы авторы написали слова "потенціальная энергия" хотя бы (но тамъ, конечно, такихъ словъ не было).

Мой вопросъ: правильно ли такъ писать книги по математикѣ? Если бы начать съ картинки и объяснить про ванну, то вся теорема стала бы наглядной и очевидной. Но можетъ быть это вредно для математиковъ, когда утвержденія дѣлаются въ наглядной формѣ? Можетъ быть, студентовъ-математиковъ вотъ такъ именно и надо муштровать непонятными текстами и скупыми поясненіями, чтобы они учились догадываться и сами "просѣкать", какіе наглядные образы соотвѣтствуютъ абстрактнымъ понятіямъ?

[posic.livejournal.com]

Уверен ли ты, что правильно понимаешь термин "неизмеримая функция"? Функции, интегралы от которых расходятся, к неизмеримым функциям никакого отношения не имеют. Функция измерима, если прообраз борелевского множества измерим. Для доказательства существования неизмеримых функций или множеств необходима аксиома выбора; указать же на одну конкретную такую функцию в принципе невозможно. Если неизмеримые функции вообще встречаются в физике, особенно в контексте обычного интегрирования по конечномерным вещественным пространствам, а не каких-нибудь фейнмановских интегралов, то это поразительно.

Теоремы о продолжении меры и впрямь зубодробительны, но ничего сложного в них нет, все это можно изучить за два дня. О них полезно иметь представление всякому, кто занимается теорией вероятностей или интегрированием по сколько-нибудь сложным пространствам. В этой связи надо сказать, что важные примеры мер в математике далеко не ограничиваются мерой Лебега в конечномерном вещественном пространстве или даже на вещественном многообразии. В диссертации Тейта функциональное уравнение для дзета-функции произвольного числового поля выводится с помощью интегрирования по p-адическим числам и аделям. Далее, есть мера Хаара на произвольной локально-компактной группе, и там есть преобразование Фурье и т.д. Все это математику очень полезно иметь в виду.

Что касается наглядности. Конечно, если в книжке по математике приводится аналогия из физики, которая даже физику не сразу понятна, то математики ее тем более не поймут; это значит, что она просто сообщается "для сведения". Лучше было бы разжевать ее подробно. Но такие аналогии лежат за пределами математики. Математик -- это как правило такой человек, для которого математические объекты нагляднее объектов физического мира. Могу поделиться собственным опытом: из всех математических сюжетов, про которые я ребенком лет 10-12 читал в журнале "Квант", слышал от родителей и т.д., меня больше всего пугали и огорчали разговоры о сферах с ручками, мыльных пленках, и т.д. Я никогда не мог понять, что имеется в виду и каким образом это может считаться математическими объектами. Вещественные числа меня почему-то не смущали (да я уже и знал про дедекиндовы сечения годам к 11). Услышав чуть позже, лет в 13 где-то, определение гладкого многообразия, я был совершенно счастлив: оказывается, математика знает, что такое поверхность и сфера с ручками!

Поэтому да, математикам нужны тексты с теоремами об абстрактных понятиях -- с хорошим изложением, удачными определениями, продуманными формулировками, с доказательствами, проясняющими взаимосвязь идей. Другое дело, что были бы, видимо, очень полезны учебники математики для физиков и учебники физики для математиков. Особенно на уровне разделов, более сложных, чем теория меры.

[chaource.livejournal.com]

По поводу неизмђримой функціи - ты правъ. Я смђшалъ понятія измђримости и интегрируемости. Конечно, неизмђримыхъ по Лебегу функцій въ физикђ нђтъ. Есть однако разные другие случаи, напримђръ измђримость или неизмђримость случайныхъ процессовъ по какой-то сигма-алгебрђ. Это уже имђетъ шансъ быть полезнымъ въ физикђ. Мђра на группахъ тоже очень полезна, но я бы сказалъ, что полезна сама возможность интегрировать, т.е. писать знакъ интеграла и дђлать вычисленія, формально похожія на интегрированіе по частямъ, оцђнки подъинтегральнаго выраженія сверху и т.д. Подробности того, какъ опредђлить мђру, по-моему не очень важны для физики.

Твой примђръ съ многообразіемъ интересный. Тогда такой вопросъ: вотъ мы опредђлили многообразіе съ помощью картъ, функцій переклейки и т.д., такъ что "настоящій математикъ" доволенъ. Мыслитъ ли "настоящій математикъ" на самомъ дђлђ съ помощью картъ и переклейки, или въ головђ есть картинка "мыльной плёнки"? У меня напримђръ вся эта тягомотина съ переклейкой вызываетъ чувство раздраженія - чувство, что это только для формальной строгости придумали, а по-настоящему используется что-то другое. Я никогда не разсказываю студентамъ-физикамъ про переклейку, пока они не поняли, какъ считать какіе-то вещи на сферической повернхости въ координатахъ.

[posic.livejournal.com]

Как математик мыслит себе многообразие, вопрос слишком общий; мой пример специфичен для меня. Я не геометр; вероятно, у математиков, более близких к геометрии или физике, или просто менее зацикленных на строгости, разговор о мыльных пленках не вызывает недоумения настолько сильного. (Отступление: я, по правде сказать, и сейчас не понимаю, что такое мыльная пленка. Я знаю, что такое многообразие с краем; но мыльные пленки, которые я видел, не являются многообразиями с краем. У них бывают довольно сложные самопересечения неясной мне природы. Скажем, когда два пузыря слипаются, образуется фигура с топологическим типом сферы, в которую изнутри вклеен диск. Конечно, по такой штуке можно интегрировать или рассматривать ее как клеточное топологическое пространство...)

Да, я не знаю, какими зрительными образами пользуются другие математики, но это и не имеет значения. Работать с понятием приходится, пользуясь его определением -- наиболее удачным из существующих. В.И.Арнольд потратил много времени, пропагандируя идею, что лучше определять гладкое многообразие как подмножество вещественного аффинного пространства с определенными свойствами, а группу -- как множество отображений другого множества в себя с определенными свойствами. Я решительно не разделяю эти идеи, но это, по крайней мере, вопрос такого рода, по которому мнения математиков могут расходиться. Для меня многообразие -- это такая вещь, маленький кусочек которой устроен как какая-то область навроде шара в аффинном пространстве, а глобальное устройство неизвестно.

Необходимость работать в математике со строгими определениями, теоремами и доказательствами, отсутствие альтернативы этому подходу -- вопрос бесспорный. Так и с мерой на группе -- прежде чем писать знак интеграла и делать вычисления, нужно как-то убедиться, что предположение существования односторонне-инвариантной меры не ведет к противоречию (в то время как в случае двусторонне-инвариантной меры таки ведет). Математику нужно, я имею в виду. Хотя бы уже потому, что когда у математика выводится противоречие, это во всех отношениях очень неприятно. Как субъективно-психологически, так и в смысле того, как с этим работать потом.

[posic.livejournal.com]

То есть, можно сказать так: возможно, бывают математики-геометры, которым определение "объекта "мыльная пленка"" понятно сразу, как только они услышат о его существовании. Вероятно, бывают математики, готовые временно обходиться недостаточной строгостью в геометрии, как в 18 веке математики временно обходились недостаточной строгостью в анализе, как и сейчас интересующиеся математикой школьники временно обходятся недостаточной строгостью в понятии вещественного числа. Я знаю, что бывают математики, работающие в тесном взаимодействии с физиками и/или в тесно связанных с физикой областях, и публикующие статьи без доказательств, или даже называющие свои гипотезы теоремами.

Но я не могу себе представить математика, не понимающего, что такое математическая строгость, или не придающего ей значения, или не находящего в ней пользы. Если кому-то бесполезны строгие определения и доказательства, то этот кто-то, я полагаю, не математик.