Педагогическое - 2

[posic]

Надо ли учить детей школьного возраста, ну скажем, технике символьных преобразований алгебраических выражений? Нетрудно видеть, что любой однозначный ответ на этот идиотский вопрос означает беду.

Без символьных преобразований нет алгебры, без алгебры нет математики, без математики нет физики, без физики нет инженерного дела, без инженерного дела нет технического прогресса. Если детей таким вещам не учить, цивилизация не сможет развиваться, в конечном итоге человечество будет обречено на деградацию и гибель.

Большинство детей, видимо, не способны полноценно освоить технику преобразований алгебраических выражений, да и уговорить их приложить нетривиальные усилия к изучению этого дела разумным образом невозможно, поскольку в жизни оно им не понадобится и они это понимают. Если детей через силу этому учить, они вырастут несчастными закомплексованными людьми, навсегда убежденными в своей никчемности по причине неспособности упростить выражение. Такие люди устроят какую-нибудь катастрофу.

Пора бы уже взрослым освоить такую математическую идею, как разница между кванторами "для любого" и "существует". Учить предмету X тех детей, кому он интересен. Уговаривать до определенной степени освоить X тех, кому X не очень интересен, но у кого есть склонность к одному из смежных предметов, для работы с которым желательно обладать некоторым пониманием X. Остальных не учить.

Comments

[posic.livejournal.com]

Уверен, что всех, за редчайшими исключениями, сколько-нибудь хороших математиков никогда никакой математике принудительно не учили. Думаю, подавляющее большинство математиков алгебраического склада мышления проявляли немедленный интерес к упомянутому предмету, как только он был им продемонстрирован и сохраняли такой интерес все то недолгое время, которое им требовалось, чтобы сей предмет освоить. Математикам-геометрам или аналитикам это дело, вероятно, было скучновато или не сразу достаточно понятно, но все же ничего похожего на настоящее принуждение с угрозой сурового наказания не требовало; так же и почти всем хорошим теорфизикам, программистам и т.д.

Сам я овладел идеей символьного преобразования, кажется, в 7 или 8 лет. Помню, я лежал в постели, засыпая, и перебирал в голове таблицу умножения, как вдруг заметил, что квадрат каждого числа на единицу больше, чем произведение следующего и предыдущего чисел (7*7=49, 8*6=48). Наутро рассказал родителям, и папа мне показал, что можно написать (n-1)(n+1) и раскрыть скобки. Я был совершенно счастлив. Ну, и стал алгебраистом. А вот задачу написания явной общей формулы для суммы 1^k + 2^k + ... + n^k (n и k натуральные) я лет в 11-12 все решал-решал, да так и не дорешал, и хотя какой-то длинный ответ получил, но в правильности его убедить себя не смог (это, как много позже выяснилось, задача по анализу на самом деле).

[bbb.livejournal.com]

При чем тут математики? Ты же вроде сам привел цепочку, согласно которой без этого самого невозможно получить самых простых рядовых инженеров. "Хорошие математики" (то есть творческие математики, привносящие что-то в математическую науку, и даже не что-то, а ого-го что) - товар редкий и штучный, уже обычных вузовских преподавателей математики необходимо, вероятно, в несколько тысяч раз больше, а про людей инженерно-технической специальности и говорить не приходится, их необходимо, думаю, как минимум в несколько миллионов раз больше. Поэтому пример "хороших математиков" здесь ничего не подтверждает.

[posic.livejournal.com]

Так вузовские преподаватели математики в США — это и есть профессиональные математики, защитившие диссертацию Ph.D. Они не настоящие творческие математики, да, но чтобы читать calculus инженерам, не обязательно уметь упрощать выражение со средней школы, достаточно в вузе это дело освоить, когда человек уже поработоспособнее и поусерднее. А людям инженерно-технической специальности вовсе и не обязательно уметь упрощать выражение, и большинство, думаю, не умеет. Хотя им полезно было бы это уметь, да -- но тут просто нужен педагог классом повыше, чем в типичной школе или вузе. Плюс, как я уже написал, ребенку с инженерно-техническими интересами можно объяснить, что математика пригодится ему в жизни, не используя таких аргументов, как угроза попасть во вспомогательную школу с массой откровенно умственно отсталых детей или подвергнуться жестокому убийству в советской армии. А школьным учителем математики, по хорошему, должен быть человек со смешанным интересом к математике и педагогике -- с упором на математику, если он будет учить сильных детей и с упором на педагогику, если слабых -- но уж всяко не такой человек, которого учили математике через силу.

Цепочка же моя была, что если не будет творческих математиков, то через поколение не будет никаких математиков, еще через поколение не будет творческих физиков, еще через поколение никаких физиков не будет, еще через поколение творческих инженеров не будет, еще через поколение не будет никаких инженеров.

[bbb.livejournal.com]

То есть детям с инженерно-технической ориентацией математика в школе не так уж и нужна? При этом инженерно-техническая ориентация - штука гораздо менее, так сказать, таланто-интенсивная. То есть инженером может быть человек, вовсе не обязательно с детства демонстрирующий склонность к этой специальности.

[posic.livejournal.com]

Навскидку предположу, что творческие инженеры в большинстве своем, хотя далеко не все из них, школьной математикой владеют и им это помогает, нетворческие не владеют. И думаю, что детей, проявляющих определенный интерес к технике, гораздо больше, чем детей, для собственного удовольствия занимающихся математикой -- примерно во столько же раз, во сколько раз инженеров больше, чем математиков.

[bbb.livejournal.com]

Тоже мысль, да.

[leblon.livejournal.com]

"Помню, я лежал в постели, засыпая, и перебирал в голове таблицу умножения, как вдруг заметил, что квадрат каждого числа на единицу больше, чем произведение следующего и предыдущего чисел (7*7=49, 8*6=48). Наутро рассказал родителям, и папа мне показал, что можно написать (n-1)(n+1) и раскрыть скобки. Я был совершенно счастлив. Ну, и стал алгебраистом."

Забавно: я тоже в какой-то момент самостоятельно "открыл" тот же самый факт и очень был горд этим. Правда, на меня еще большее впечатление призвела (позже, лет в 10-11) книга Розы Петер "Игра с бесконечностью". Там, в частности, рассказывается про происхождение анализа бесконечно малых. Я ужасно радовался поняв, наконец, что такое производная, и как посчитать производную многочлена. Потом целый год учился интегрировать и решать обыкновенные дифуры. Даже в пионерском лагере :)

[posic.livejournal.com]

Забавно, да: как раз обыкновенные дифуры меня никогда не увлекали, хотя мне мама и показывала, в связи с моими занятиями школьной физикой, как разделять переменные и прочее. Я за эти дифуры получил свой единственный на мехмате незачет (мне было заявлено, что хотя я мое решение задачи и верно, но владение методом вариации произвольной постоянной не наблюдается).

[posic.livejournal.com]

А из анализа мое воображение захватывали ряды Тейлора, особенно почему-то для синуса-косинуса. И я таки прочитал в Фихтенгольце вывод оценки остаточного члена, доказывавшей сходимость, и был весьма доволен этим. Где-то лет в 10-11 тоже, да.

[sowa.livejournal.com]

Я примерно в том же возрасте интересовался той же задачей про сумму степеней. Мне помнится, что я нашел способ найти формулу для каждого конкретного k, и реализовал его для 4,5 или 5,6. Общей формулы не нашел. :-)


А почему вы думаете, что это задача по анализу? Элементарная теория чисел или комбинаторика, мне кажется.

[posic.livejournal.com]

Для каждого конкретного k я тоже умел, конечно. Это задача, как я осознал совсем недавно, ровно в точности на формулу Эйлера-Маклорена. Сумма значений f(m) по натуральным m от 1 до n выражается в виде ряда: главный член -- интеграл f от 1 до m, во второй член входят значения f на концах отрезка, в следующий член -- значения производных f на концах отрезка, и так далее. Коэффициентами являются числа Бернулли. В типичной ситуации этот ряд очень сильно расходится, но значения его частичных сумм выпадают поочередно то слева, то справа от значения искомой суммы f(m) и, прежде чем начать быстро возрастать, члены ряда могут некоторое время быстро убывать, в результате чего частичные суммы ряда близко подходят к искомой сумме значений f, прежде чем начать разбегаться. Так можно вычислять на калькуляторе некоторые иррациональности, вроде е и пи. Ну, а для многочлена f ряд Э.-М. стабилизируется и, разумеется, сходится куда ему положено, так что он и есть ответ. Интеграл, производные, числа Бернулли -- с точки зрения ребенка всяко анализ.

[sowa.livejournal.com]

Конечно, можно рассматривать эту задачу как задачу на формулу Эйлера-Маклорена. Но это слегка пушкой по воробьям, и можно без нее - Бернулли решил ее до формулы Эйлера-Маклорена.

[avzel.livejournal.com]

Для меня эта задача - на числа Стирлинга обоего рода, которые дают матрицы перехода (в обе стороны) между двумя базисами в пространстве многочленов от одного переменного х: базис из степеней х, и базис из "факториальных степеней"
х(х+1)...(х+n-1). В самом деле, задача суммирования факториальных степеней почти тривиальна. Лень проверять, кто был раньше - Стирлинг или Бернулли/Эйлер
(Эйлер был современником некоторых представителей семейства Бернулли, насколько я помню).

[sowa.livejournal.com]

Ну да. На мой взгляд, это комбинаторика, а не анализ.

Возможно, я ошибся и формулу открыл Эйлер, а не Бернулли.

[avzel.livejournal.com]

Плюс немножко линейной алгебры.

[sowa.livejournal.com]

Оказалось, что я на самом деле не вполне понял ваш подход. Суммирование факториальных степеней дает формулу через числа Стирлинга и эти факториальные степени, а хотелось бы получить формулу через числа Бернулли и обычные степени.

Не могли бы вы это поясить или дать ссылку?

[posic.livejournal.com]

Как я понимаю, можно выразить обычные степени через факториальные степени, суммы факториальных степеней будут снова факториальными степенями, и эти новые факториальные степени можно выразить обратно через обычные степени. Получится формула, в которую входят компоненты матриц перехода между обычными и факториальными степенями в ту и в другую сторону. Но вот как получить отсюда формулу через числа Бернулли?

[sowa.livejournal.com]

Ну да, так можно сделать. Получится сложная формула, включающая в себя числа Стирлинга первого и второго рода. А вот как они свернутся в числа Бернулли, непонятно.

[misaile.livejournal.com]

Забавно, насколько стандартны детские открытия...

Имхо: "принудительное обучение" есть неизбежный элемент детского обучения вообще (кроме, м.б., отдельных гениев) - без него проблематично вообще воспитать какую-либо интеллектуальную дисциплину. Ваш мессидж, соответственно, для меня сводится к постановке вопроса о том, что математика таким интеллектуально-дисциплинарным полигоном быть не должна. Думаю, что фанаты древних языков в былые времена (когда эти предметы выполняли подобную функцию) могли бы точно также защищать свои предметы от грубого школярства...

Пример по теме: полтора года назад мне в Питере свалился на голову некий 17-летний беспризорник, которого я с той поры опекаю. Имел ~ 5 реальных классов школы + некоторую начитанность-нахватанность. С талантливым, но совершенно недисциплинированным мышлением и с отвращением к математике, на примере которой (и именно с тех формул + устный счет) я и стал вбивать в него элементарные дисциплинарные навыки (при этом никакой практической заинтересованности с его стороны, поскольку до сих пор уверен, что оно ему не надо и не пригодится - просто это было МНЕ удобнее)...
Сейчас он неплохо учится в путяге и с восхищением штудирует Сенеку (и что-то понимает!)...

[sowa.livejournal.com]

"Забавно, насколько стандартны детские открытия..."

Настолько, насколько стадартны предлагаемые детям книги и задачки в кружках.

[vinopivets.livejournal.com]

Именно.

[posic.livejournal.com]

Да, конечно. Прочитав книжку, где по индукции выводятся формулы для сумм m² и m³ как-то естественно попробовать двинуться дальше.

[sowa.livejournal.com]

Ровно так и было.

[buddha239.livejournal.com]

А я вот вывел формулу для чисел Фиббоначи вполне самостоятельно.:) Правда, о самих числах было много задач на кружке.

[posic.livejournal.com]

Нет, речь у меня, конечно, о том, что никакие предметы не должны преподаваться через силу. Математика избрана как пример исключительно в противовес распространенной ситуации, когда специалист настаивает на максимальной глубине и объеме школьного преподавания своего предмета, а проблему добровольности вообще игнорирует или даже заявляет, что его предмет надо изучать всем ввиду его универсальной значимости ("математика ум в порядок приводит" и прочая белиберда).