posic | Entries tagged with math7

Пусть A → R и B → S -- гомоморфизмы ассоциативных колец, кольцо A нетерово слева, кольцо B когерентно справа, кольцо R является плоским правым A-модулем, кольцо S является плоским левым B-модулем. Пусть D -- дуализирующий комплекс для колец A и B (в смысле раздела B.4 текущей версии контрагерентного препринта).

Относительным дуализирующим комплексом для колец R и S над A и B называется конечный комплекс R-S-бимодулей D, снабженный морфизмом комплексов A-B-бимодулей D → D так, что удовлетворяются следующие условия:

(i) D является комплексом слабо R/A-относительно проективных левых R-модулей, т.е., функторы Hom_R из его членов переводят точные тройки A-инъективных левых R-модулей в точные тройки абелевых групп;
(ii) D является комплексом слабо S/B-относительно плоских правых S-модулей, т.е., функторы тензорного умножения над S на его члены переводят точные тройки B-плоских левых S-модулей в точные тройки абелевых групп;
(iii) индуцированные морфизмы комплексов R⊗_AD → D и D⊗_BS → D являются квазиизоморфизмами.

Полукопроизводной категорией левых R-модулей относительно A называется факторкатегория гомотопической категории комплексов левых R-модулей по толстой подкатегории комплексов, коацикличных над A. Полуконтрапроизводной категорией левых S-модулей относительно B называется факторкатегория гомотопической категории комплексов левых S-модулей по толстой подкатегории комплексов, контраацикличных над B.

Хотелось бы доказать следующий результат:

Теорема. Выбор относительного дуализирующего комплекса D → D для колец R и S над A и B индуцирует эквивалентность между полукопроизводной категорией левых R-модулей относительно A и полуконтрапроизводной категорией левых S-модулей относительно B.

Пусть K -- коммутативное нетерово кольцо, I ⊂ K -- конечно-порожденный идеал, A и B -- ассоциативные K-алгебры, причем кольцо A нетерово слева, а B -- справа. Конечный комплекс A-B-бимодулей D называется дуализирующим комплексом для A и B над (K,I), если выполнены следующие условия:

(i) D является комплексом инъективных левых A-модулей и комплексом инъективных правых B-модулей;
(ii) каждый элемент D аннулируется некоторой степенью идеала I;
(iii) для любого натурального n, комплекс D(n) = D(Iⁿ) является дуализирующим комплексом для колец A/IⁿA и B/IⁿB (ср. с леммой 2 из предыдущего постинга).

Будем называть K-модулем (или A-модулем) I-кручения такой K-модуль (соответственно, A-модуль), всякий элемент которого аннулируется некоторой степенью идеала I. Аналогично, будем называть (B,I)-контрамодулем контрамодуль над I-адическим пополнением кольца B, или, что то же самое, B-модуль, являющийся (K,I)-контрамодулем.

Теорема. Выбор дуализирующего комплекса D для A и B над (K,I) индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией левых A-модулей I-кручения и контрапроизводной категорией левых (B,I)-контрамодулей.

Доказательство: копроизводная категория отождествляется с гомотопической категорией инъективных A-модулей I-кручения; контрапроизводная -- с абсолютной производной категорией B-плоских (B,I)-контрамодулей. Используются результаты постинга http://posic.livejournal.com/934137.html и тот факт, что всякий инъективный объект в категории левых A-модулей I-кручения является одновременно инъективным левым А-модулем (лемма Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в нетеровых кольцах). Между описанными категориями действуют функторы Hom над A из D и тензорного умножения над B на D. Для доказательства взаимной обратности используется лемма 1 из предыдущего постинга.

Пусть K -- коммутативное кольцо, I ⊂ K -- конечно порожденный идеал, A и B -- ассоциативные K-алгебры. Для любого K-модуля L, будем обозначать через L(I) подмодуль элементов, аннулируемых I.

Лемма 1. а) Для любого левого A-модуля M и инъективного левого A-модуля J имеется естественный изоморфизм K/I-модулей Hom_A(M,J)/I Hom_A(M,J) = Hom_A/IA(M(I), J(I)).
б) Для любого правого B-модуля N и плоского левого B-модуля F имеется естественный изоморфизм K/I-модулей (N⊗_BF)(I) = N(I) ⊗_B/IB F/IF.

Доказательство: для любого конечно представимого K-модуля E имеются естественные изоморфизмы Hom_A(Hom_K(E,M),J) = E ⊗ _K Hom_A(M,J) и Hom_K(E, N⊗_BF) = Hom_K(E,N) ⊗_B F. Остается подставить E = A/I.

Пусть D -- конечный комплекс A-инъективных и B-инъективных A-B-бикомодулей над K. Предположим, что кольцо A когерентно слева, а B -- справа. Мы пользуемся определением дуализирующего комплекса для пары некоммутативных колец из раздела B.4 препринта 1209.2995v3.

Лемма 2. а) Если D -- дуализирующий комплекс для пары колец (A,B), то D(I) -- дуализирующий комплекс для пары колец (A/IA, B/IB).
б) Допустим, что идеал I ⊂ K нильпотентен, кольцо A нетерово слева, а B -- справа. Тогда если D(I) -- дуализирующий комплекс для пары колец (A/IA, B/IB), то D -- дуализирующий комплекс для пары колец (A,B).

Доказательство. Пункт а): ясно, что D(I) -- комплекс инъективных A- и B-модулей. Отображение гомотетии B → Hom_A(D,D) является квазиизоморфизмом конечных комплексов плоских левых B-модулей, и следовательно, остается квазиизоморфизмом после тензорного умножения справа над B на B/IB, т.е., приведения по модулю I. Теперь можно использовать лемму 1а).

Ограниченный сверху комплекс левых модулей над когерентным слева кольцом квазиизоморфен ограниченному сверху комплексу конечно порожденных проективных модулей тогда и только тогда, когда его модули когомологий конечно представимы. Чтобы показать, что A/IA-модули когомологий комплекса D(I) конечно представимы, заметим, что D(I) квазиизоморфен комплексу Hom_B^op из левой резольвенты правого B-модуля B/IB, составленной из конечно порожденных проективных правых B-модулей, в комплекс D. Такой комплекс Hom локально по когомологической градуировке является конечно-итерированным конусом морфизмов между сдвигами копий комплекса D, и следовательно, имеет конечно представимые A-модули когомологий. Остается отметить, что A/IA-модуль конечно представим тогда и только тогда, когда он конечно представим как A-модуль.

Пункт б): если идеал I нильпотентен, то морфизм конечных комплексов плоских B-модулей является квазиизоморфизмом тогда и только тогда, когда он становится таковым после тензорного умножения на B/IB. Чтобы проверить конечную представимость A-модулей когомологий комплекса D, можно рассмотреть спектральную последовательность, сходящуюся от подмодулей, аннулируемых I в этих когомологиях, к когомологиям комплекса D(I) (существующую ввиду предыдущего абзаца), и дальше рассуждать как в доказательстве леммы С.1.3 из 1209.2995v3, пользуясь тем фактом, что A-модуль M конечно порожден, если конечно порожден A/I-модуль M(I).

Будем предполагать для простоты все схемы полуотделимыми, что ли.

Пусть X -- нетерова формальная схема, Y → X -- квазикомпактная плоская схема над X. Это значит, что для любой замкнутой (не формальной) подсхемы Z ⊂ X задана квазикомпактная схема Y_Z, плоская над Z, так что вложениям замкнутых подсхем Z' → Z'' внутри X соответствуют декартовы квадраты схем Y_Z' → Y_Z'', Z' → Z''.

В этой ситуации хотелось бы построить эквивалентность полупроизводных категорий квазикогерентных пучков кручения и контрагерентных копучков контрамодулей над Y относительно X. Случай "отдельно взятого верхнего этажа" (скажем, когда X -- гладкая нетерова схема, не формальная) разобран в главе 4 контрагерентного препринта. Случай "отдельно взятого нижнего этажа" пока что не прописан еще, конечно, но давно предполагается к прописыванию.

P.S. Вообще, что такое "полубесконечное" (или, лучше сказать, бесконечномерное в две стороны) многообразие? Обычно говорят про инд-схемы не обязательно инд-конечного типа, т.е., грубо говоря, инд-про-схемы инд-про-конечного типа.

Мне всегда думалось, что, если иметь в виду использовать конструкцию полупроизводной категории, то более естественно было бы рассматривать объект, устроенный наоборот -- что-то вроде про-инд-схемы про-инд-конечного типа. Такое многообразие расслаивалось бы над инд-схемой инд-конечного типа (или, как в примере выше, над нетеровой формальной схемой), и можно было бы говорить, скажем, о локализации гомотопической категории квазикогерентных пучков кручения на тотальном пространстве, скажем, по полной подкатегории комплексов, прямые образы которых на базовую инд-схему коацикличны на ней.

Буквально такие слова подразумевают, конечно, что морфизм не только плоский, но и аффинный, но, может быть, это можно как-то обойти. Например, требовать коацикличности прямого образа ограничения на любую относительно аффинную открытую подсхему (это имеет какой-нибудь смысл, интересно?) В общем, не знаю пока что.

http://xaxam.livejournal.com/533047.html

Пусть R -- нетерово справа ассоциативное кольцо, m -- идеал в R, порожденный центральными элементами. Пусть R_m^ обозначает пополнение R в m-адической топологии, рассматриваемое как топологическое кольцо.

Теорема 1. 1) Левый R_m^-контрамодуль P является плоским R-модулем тогда и только тогда, когда все R/mⁿ-модули P/mⁿP плоские. Кроме того, в этих условиях естественное отображение P → lim_n P/mⁿP является изоморфизмом.
2) В частности, свободные левые R_m^-контрамодули являются плоскими R-модулями.
3) Для любого плоского R-модуля F, такого что R/m-модуль F/mF проективен, и любого R_m^-контрамодуля Q, группы Ext_R^>0(F,Q), посчитанные в категории R-модулей, зануляются.
4) В частности, забывающий функтор R_m^-contra → R-mod индуцирует изоморфизмы на всех группах Ext.
5) Кроме того, левый R_m^-контрамодуль F проективен тогда и только тогда, когда он R-плоский и R/m-модуль F/mF проективен.

Утверждение 3) не зависит ни от каких предположений нетеровости. Правая нетеровость кольца R используется в доказательстве пункта 1) (от которого зависят 2) и 4)-5)).

Теорема 2. Предположим, что все плоские левые R/m-модули имеют конечную проективную размерность. Тогда контрапроизводная категория левых R_m^-контрамодулей эквивалентна абсолютной производной категории R-плоских левых R_m^-контрамодулей и гомотопической категории комплексов свободных левых R_m^-контрамодулей.

Доказательство: очевидно, в наших предположениях класс плоских левых R-модулей (и следовательно, R-плоских левых R_m^-контрамодулей) замкнут относительно бесконечных произведений, так что остается показать, что всяких R-плоский левый R_m^-контрамодуль имеет конечную проективную размерность в R_m^-contra. Последнее следует из пункта 5) теоремы 1.

Пусть R -- ~~нетерово слева~~ слабо нетерово ассоциативное кольцо, m -- идеал в R, порожденный центральными элементами. Пусть R_m^ обозначает пополнение R в m-адической топологии, рассматриваемое как топологическое кольцо.

Теорема. Забывающий функтор из категории левых контрамодулей над R_m^ в категорию левых R-модулей -- вполне строгий. Если s₁, ..., s_n -- центральные образующие идеала m в R, то образом этого функтора является полная подкатегория в R-mod, состоящая из всех модулей, являющихся s_j-контрамодулями для всех j.

Следствие. Пусть К -- коммутативное нетерово кольцо, полное в адической топологии своего идеала k, пусть R -- нетерово слева ассоциативное нетерово кольцо, и K → R -- гомоморфизм колец, такой что кольцо R полно в k-адической топологии (как K-модуль). Будем рассматривать K и R как топологические кольца в их k-адических топологиях. Тогда категория левых R-контрамодулей эквивалентна категории левых R-модулей, подлежащая структура K-модуля в которых продолжается до структуры K-контрамодуля.

Набросок доказательства теоремы: рассмотрим кольцо формальных степенных рядов R[[t₁,...,t_n]] и наделим его (t₁,...,t_n)-адической топологией. Имеется сюръективный открытый гомоморфизм колец R[[t₁,...,t_n]] → R_m^, образующий коммутативную диаграмму с естественными отображениями из кольца R и переводящий t_j в s_j.

Лемма 1. Ядро J гомоморфизма колец R[[t₁,...,t_n]] → R_m^ порождено центральными элементами t_j − s_j (как идеал в абстрактном кольце). Более того, любое семейство элементов J, сходящееся к нулю в топологии R[[t₁,...,t_n]], является линейной комбинацией n сходящихся к нулю семейств элементов R[[t₁,...,t_n]], взятых с коэффициентами t_j − s_j.

Доказательство леммы 1 аналогично рассуждению из разделов B.3-B.4 препринта 1202.2697; предположение коммутативности там по существу не используется. Более того, достаточно предполагать не левую, а только слабую нетеровость кольца R (т.е., что любая возрастающая цепочка двусторонних идеалов стабилизируется).

Лемма 2. Забывающий функтор отождествляет категорию R[[t₁,...,t_n]]-контрамодулей с полной подкатегорией в категории R[t₁,...,t_n]-модулей, состоящей из таких модулей, которые являются t_j-контрамодулями для всех j.

Доказательство аналогично разделам B.5-B.6 того же препринта. Утверждение верно для любого ассоциативного кольца R.

Хорошо бы сделать две части. Нынешние Sections 1-5 образуют Part I: Contraherent cosheaves on schemes.

Нижеследующие Sections 6-8 (или 6-9) составляют Part II: Contraherent cosheaves of contramodules on Noetherian formal schemes.

Section 6: Affine Noetherian formal schemes

Сюда включается нынешний аппендикс C, а также материал последних двух ЖЖ-постингов.

Section 7: Locally contraherent cosheaves of contramodules

Сюда входят определения четырех точных категорий, участвующих в теореме ковариантной двойственности/ко-контра соответствия на формальной схеме; конструкции функторов прямого и обратного образа (включая специальные обратные образы) для (про)пучков и (инд)копучков; конструкции тензорных операций. Если потребуется писать что-то про (ко)вялые (ко)пучки, это тоже здесь. Триангулированные категории в этой главе не упоминаются.

Section 8: Co-contra correspondence over a Noetherian formal scheme

Здесь строятся нужные теории кокручения на точных категориях; эквивалентность четырех производных категорий второго рода (как обещано) на полуотделимой нетеровой формальной схеме и, может быть, двух на неполуотделимой; резольвентные подкатегории в точных и триангулированных категориях; производные функторы прямого и обратного образа; доказывается компактная порожденность; обсуждаются экстраординарные обратные образы Неемана и Делиня, и теория ковариантной двойственности Серра-Гротендика на формальных схемах.

Наконец, новый Appendix С (или Section 9): Koszul and D-Ω duality

Здесь, видимо, сразу над нетеровой формальной схемой строится неоднородная квадратичная двойственность над тензорной категорией про-плоских про-квазикогерентных про-пучков; обсуждаются квазидифференциальные коалгебры и квазикогерентные CDG-алгебры; доказывается Пуанкаре-Биркгоф-Витт; определяются полупроизводные категории; строится производная кошулева двойственность раздельно на ко- и на контра-стороне; и в конце концов (если получится) коммутативный квадрат с кошулевыми двойственностями по горизонталям и ко-контра соответствиями по вертикалям.

И еще: если на эту задачу у меня не найдется желающий студент, то придется ее, видимо, решать самому и тоже включать в эту книжку?

Лемма 1. Пусть R → S_α -- конечный набор морфизмов нетеровых колец, такой что соответствующий набор морфизмов аффинных схем Spec S_α → Spec R является открытым покрытием. Пусть I -- идеал в кольце R, и J_α -- его расширения в S_α. Наконец, пусть P -- контраприспособленный R-модуль. Тогда R-модуль P является (R,I)-контрамодулем в том и только том случае, когда S_α-модули Hom_R(S_α,P) являются (S_α,J_α)-контрамодулями для всех α.

Доказательство: "только тогда" -- частный случай леммы 2 из предыдущего постинга. Чтобы доказать "тогда", надо использовать леммы 1-2 из предыдущего постинга + "контрагерентную" резольвенту Чеха контраприспособленного R-модуля P.

Лемма 2. Пусть пусть R → S -- гомоморфизм нетеровых колец, такой что соответствующий морфизм аффинных схем Spec S → Spec R является открытым вложением. Пусть I ⊂ J -- два идеала в кольце R; обозначим через SI и SJ расширения этих идеалов в S. Тогда функторы "слабого пополнения" из категории R-плоских R-контраприспособленных (R,I)-контрамодулей в категорию R-плоских R-контраприспособленных (R,J)-контрамодулей и из категории S-плоских S-контраприспособленных (S,SI)-контрамодулей в категорию S-плоских S-контраприспособленных (S,SJ)-контрамодулей образуют коммутативную диаграмму с функторами Hom_R(S,−).

Доказательство: условие, что морфизм аффинных схем является открытым вложением, нужно для того, чтобы функтор корасширения скаляров Hom_R(S,−) сохранял плоскость контраприспособленных модулей, см. Corollary 1.7.5(a) из контрагерентного препринта. В остальной части рассуждения используется только предположение, что морфизм схем очень плоский (или плоский, если ограничиваться контрамодулями кокручения).

Собственно доказательство основано на явной конструкции из леммы 5 предыдущего постинга и лемме 1.7.6(c) из контрагерентного препринта (примененяемой к морфизмам колец R → R/Jⁿ и R-модулю F=S), позволяющей в явном виде проверить коммутацию функторов.

Лемма 3. Пусть U -- нетерова аффинная схема, U_red -- ее максимальная приведенная замкнутая подсхема, и i: U_red → U -- отображение замкнутого вложения. Пусть P -- локально инъективный локально контрагерентный копучок на U. Тогда если локально инъективный локально контрагерентный копучок i^!P контрагерентен на всей U_red, то копучок P контрагерентен на всей U.

Доказательство: ввиду гомологического критерия контрагерентности локально контрагерентного копучка на аффинной схеме (лемма 3.2.2 из архивного препринта), дело сводится к следующему утверждению про комплексы модулей над кольцом.

Пусть R -- коммутативное кольцо, R_red = R/r -- его факторкольцо по нильрадикалу, и I = (I_n → … → I₀) -- конечный комплекс инъективных R-модулей. Тогда если максимальный подкомплекс _rI ⊂ I в I, аннулируемый r, ацикличен во всех членах, кроме, может быть, самого правого члена _rI₀, то и исходный комплекс I ацикличен во всех членах, кроме, может быть, I₀. Последнее утверждение легко проверяется по индукции с помощью "двойственной леммы Накаямы" (любой ненулевой R-модуль имеет ненулевой подмодуль элементов, аннулируемых r).

Развитие старого постинга http://posic.livejournal.com/849300.html

За истекшие полгода (с выходом третьей версии архивного препринта) у меня тут немножко поменялась терминология: условие R-контраприспособленности в определение "(R,I)-контрамодуля" больше не включается (т.е., (R,I)-контрамодулем называется просто контрамодуль над пополнением R по I). Переведем утверждения из постинга по ссылке на новый язык (все кольца ниже коммутативные и нетеровы):

Лемма 1. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец R → S, переводящий элементы идеала I ⊂ R в элементы идеала J ⊂ S, то всякий (S,J)-контрамодуль Q является также (R,I)-контрамодулем в структуре R-модуля, полученной ограничением скаляров при морфизме колец R → S. Если при этом S-модуль Q был контраприспособленным или модулем кокручения, то он остается таковым же и над R.

Лемма 2. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец f: R → S, такой что идеал J ⊂ S содержится в расширении идеала I ⊂ R при морфизме колец f, то S-модуль Hom_R(S,P) является (S,J)-контрамодулем для любого (R,I)-контрамодуля P. Если при этом S[s⁻¹] -- очень плоский R-модуль для всякого s ∈ S и R-модуль P контраприспособлен, то таков же и S-модуль Hom_R(S,P); если S -- плоский R-модуль и R-модуль P является модулем кокручения, то таков же и S-модуль Hom_R(S,P).

и добавим еще несколько:

Лемма 3. Если (R,I) → (S,J) -- конечный морфизм колец f: R → S, такой что идеал J ⊂ S содержится в расширении идеала I ⊂ R при морфизме колец f, то S-модуль S⊗_RP является (S,J)-контрамодулем для любого (R,I)-контрамодуля P. Если при этом P -- плоский R-модуль кокручения, то таков же и S-модуль S⊗_RP; если морфизм f сюръективен и R-модуль P контраприспособлен, то таков же и S-модуль S⊗_RP.

Лемма 4. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец R → S, переводящий элементы идеала I ⊂ R в элементы идеала J ⊂ S, то имеется естественный точный справа функтор "слабого пополнения" из категории (R,I)-контрамодулей в категорию (S,J)-контрамодулей, переводящий свободный (R,I)-контрамодуль с множеством образующих X в свободный (S,J)-контрамодуль с тем же множеством образующих. Этот функтор сопряжен слева к функтору ограничения скаляров из леммы 1.

(Непонятно, сохраняет ли функтор "слабого пополнения" (контра)модулей свойства контраприспособленности и кокручения. Upd.: вообще говоря, конечно, не сохраняет: достаточно рассмотреть случай, когда R -- поле, а I=0. Но интересен и неясен случай, когда R=S... или, впрочем, отчасти ясен. См. следующие леммы.)

Лемма 5. Если (R,I) → (S,J) -- морфизм колец R → S, переводящий элементы идеала I ⊂ R в элементы идеала J ⊂ S, то функтор "слабого пополнения" из леммы 4 действует на R-плоские (R,I)-контрамодули F, переводя их в обычные "наивные" пополнения F_J^ = lim_n (S⊗_RF)/Jⁿ(S⊗_RF). В частности, этот функтор переводит R-плоские (R,I)-контрамодули в R-плоские (R,J)-контрамодули и очень плоские (R,I)-контрамодули в очень плоские (R,J)-контрамодули.

Лемма 6. Если I ⊂ J -- два идеала в кольце R = S, то функтор "слабого пополнения" из леммы 4 переводит R-контраприспособленные R-плоские (R,I)-контрамодули в R-контраприспособленные R-плоские (R,J)-контрамодули и R-плоские (R,I)-контрамодули R-кокручения в R-плоские (R,J)-контрамодули R-кокручения. (Идеи доказательства: в контраприспособленном случае, использовать критерий контраприспособленности I-полного R-модуля в терминах его приведения по модулю I; в случае кокручения, использовать Еноксову классификацию плоских модулей кокручения.)

***

Мораль сей басни: видимо, имеет смысл рассматривать два типа морфизмов формальных схем. "Строгие морфизмы" выделяются условием, что полный прообраз определяющей замкнутой подсхемы является определяющей замкнутой подсхемой. На языке колец с идеалами это значит, что идеал J ⊂ S в точности равен расширению идеала I ⊂ R в кольце S. "Морфизмы пополнения" отображают формальную схему в ее формальные пополнения относительно замкнутых подсхем (содержащихся в, но не являющихся определяющими подсхемами). На языке колец с идеалами, можно просто говорить, что кольцо R осталось прежним, а идеал I увеличился.

Конструкции из лемм 1-3 суть, по большому счету, конструкции функторов, связанных со строгими морфизмами, к которым прикомпоновывается функтор ограничения скаляров при морфизме пополнения формальных схем, связанных с кольцом S. Конструкция из леммы 4 описывает левый сопряженный функтор к ограничению скаляров как при строгом морфизме, так и при морфизме пополнения (при строгом конечном морфизме достаточно конструкции из леммы 3).

Для построения теории производного ко-контра соответствия на нетеровых формальных схемах (как изложено здесь -- http://posic.livejournal.com/794211.html ), нужны следующие операции тензорного произведения/гомоморфизмов (согласно диаграмме из архивного препринта):

(верхние горизонтальные функторы)
- тензорное произведение про-плоского про-квазикогерентного про-пучка на квазикогерентный пучок кручения, с результатом в виде квазикогерентного пучка кручения;
- квазикогерентный внутренний Hom из одного инъективного квазикогерентного пучка кручения в другой, с результатом в виде про-плоского про-квазикогерентного про-пучка про-кокручения;

(нижние горизонтальные функторы)
- контрагерентное тензорное произведение инъективного квазикогерентного пучка кручения на плоский контрагерентный копучок контрамодулей, с результатом в виде инд-локально инъективного инд-контрагерентного инд-копучка;
- Cohom из квазикогерентного пучка кручения в инд-локально инъективный инд-контрагерентный инд-копучок, с результатом в виде контрагерентного копучка контрамодулей кокручения;

(диагональные функторы)
- контратензорное произведение квазикогерентного пучка кручения на контрагерентный копучок контрамодулей, с результатом в виде квазикогерентного пучка кручения;
- контрагерентный внутренний Hom из квазикогерентного пучка кручения в инъективный квазикогерентный пучок кручения, с результатом в виде контрагерентного копучка контрамодулей кокручения;

(левые вертикальные функторы)
- контратензорное произведение про-плоского про-квазикогерентного про-пучка на плоский контрагерентный копучок контрамодулей, с результатом в виде про-плоского про-квазикогерентного про-пучка;
- контрагерентный внутренний Hom из про-плоского про-квазикогерентного про-пучка в про-плоский про-квазикогерентный про-пучок про-кокручения, с результатом в виде плоского контрагерентного копучка контрамодулей кокручения;

(правые вертикальные функторы)
- контратензорное произведение про-плоского про-квазикогерентного про-пучка на инд-локально инъективный инд-контрагерентный инд-копучок, с результатом в виде инъективного квазикогерентного пучка кручения;
- контрагерентный внутренний Hom из про-плоского про-квазикогерентного про-пучка в инъективный квазикогерентный пучок кручения, с результатом в виде инд-локально инъективного инд-контрагерентного инд-копучка.

Вопросы: бывает ли такая вещь, как инд-плоские квазикогерентные пучки кручения? или про-инъективные контрамодули/про-локально инъективные контрагерентные копучки контрамодулей?

P.S. ... Выглядит все это немного ужасно, да?

P.P.S. Впрочем, пугаться не обязательно. Можно задаться еще вот таким вопросом: какие тензорные операции, кроме перечисленных, бывают на упомянутых категориях? Три очевидных кандидата:
- тензорное произведение двух про-плоских про-квазикогерентных про-пучков, с результатом в виде про-плоского про-квазикогерентного про-пучка;
- Cohom из про-плоского про-квазикогерентного про-пучка в инд-локально инъективный инд-контрагерентный инд-копучок, с результатом в виде инд-локально инъективного инд-контрагерентного инд-копучка;
- Cohom из про-плоского про-квазикогерентного про-пучка в контрагерентный копучок контрамодулей кокручения, с результатом в виде контрагерентного копучка контрамодулей кокручения.

P.P.P.S. И вот еще два:
- квазикогерентный внутренний Hom из про-плоского про-квазикогерентного про-пучка в про-плоский про-квазикогерентный про-пучок про-кокручения, с результатом в виде про-плоского про-квазикогерентного про-пучка про-кокручения;
- контрагерентное тензорное произведение про-плоского про-квазикогерентного про-пучка и инд-локально инъективного инд-контрагерентного инд-копучка, с результатом в виде инд-локально инъективного инд-контрагерентного инд-копучка.

Обобщение теории контрагерентных копучков со схем на (скажем, нетеровы) формальные схемы требует, прежде всего, построения подходящих теорий кокручения в абелевой категории контрамодулей над адическим пополнением (нетерова) кольца. О том, что в категории контрамодулей над полным нетеровым кольцом есть полная теория кокручения, состоящая из плоских контрамодулей и контрамодулей кокручения, я знаю с последних дней мая прошлого года. При этом контрамодуль над пополнением нетерова кольца R по идеалу I называется плоским, если он плоский как R-модуль, и контрамодулем кокручения, если он является R-модулем кокручения.

Построение теории очень плоских и контраприспособленных контрамодулей казалось более сложной проблемой, прежде всего потому, что класс очень плоских модулей не обладает (насколько известно) свойствами замкнутости относительно операций, подобных бесконечному произведению или проективному пределу (которые имеют место для плоских модулей над когерентными или нетеровыми кольцами). Кажется, теперь я научился эту задачу решать.

Идея очень простая: в то время, как мы по-прежнему хотим называть контраприспособленными контрамодулями над пополнением R по I такие контрамодули, которые являются контраприспособленными R-модулями, класс очень плоских контрамодулей мы будем описывать по-другому. В самом деле, ниоткуда, насколько я знаю, не следует, что контрамодули, являющиеся очень плоскими модулями, вообще существуют. Вместо этого, мы хотим считать контрамодуль над пополнением очень плоским, если его приведение по модулю Iⁿ является очень плоским R/Iⁿ-модулем для всех n. Типичным примером очень плоского контрамодуля у нас будет I-адическое пополнение какого-нибудь очень плоского R-модуля.

Почему это работает, надо разбираться. Мне сейчас кажется, что я умею преодолевать возникающие при этом подходе препятствия, но более-менее уверенно об этом можно будет говорить, когда доказательства будут написаны (чем я сейчас занимаюсь).

Если в классической гомологической алгебре ключевую техническую роль играют проективные и инъективные резольвенты, то в том, что Енокс называет "относительной" гомологической алгеброй (а я бы, видимо, называл "полубесконечной"), аналогичное место занимает то, что теперь принято называть "полными теориями кокручения".

Термин этот обозначает ситуацию, когда в абелевой или точной категории имеются два дополнительных класса объектов -- так сказать, "отчасти проективных" и "отчасти инъективных", так что можно вычислять функтор Ext, заменив одновременно первый аргумент на его "отчасти проективную" резольвенту, а второй -- на "отчасти инъективную". Условие существования достаточного количества объектов в двух дополнительных классах (свойство полноты "теории кокручения"), если его правильно сформулировать, оказывается сильным и нетривиальным, и из него много чего можно вывести.

Классический пример пары дополнительных классов объектов получается, если взять за "отчасти проективные" модули над кольцом -- все плоские модули (а "отчасти инъективными" тогда уж будут те, которые будут -- они, собственно, и называются "модулями кокручения"). Другие примеры возникают в полубесконечной гомологической алгебре -- там "отчасти проективными" будут модули, проективные вдоль одной группы переменных в кольце, а "отчасти инъективными" -- инъективные вдоль дополнительной группы (остальных) переменных.

В частности, теории кокручения играют ключевую роль в науке про контрагерентные копучки. При этом если в ситуации над каким-нибудь стеком в плоской топологии естественно использовать теорию плоских модулей и модулей кокручения, то работая над схемой, можно увеличить общность, заменив произвольные плоские модули на их небольшой подкласс (минимальный, содержащий свободные модули и сохраняемый операцией взятия прямого образа с открытого вложения аффинных схем, наряду с обычными гомологическими операциями).

Дополнительные классы соответствующей полной теории кокручения, имеющей место в абелевой категории модулей над произвольным коммутативным кольцом, называются классами "очень плоских" и "контраприспособленных" модулей. Все очень плоские модули имеют проективную размерность, не превосходящую единицы, а свойство контраприспособленности, соответственно, сохраняется при переходе к любому фактормодулю.

В духе предложения 1.5 из 1102.0261 и далее -- их уже много по нынешним временам -- следствий A.2.1(b-c)/А.5.2 из 1209.2995 и др. -- нельзя ли доказать следующие утверждения?

Теорема 1. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A; предположим, что C является плоским правым A-модулем. Тогда копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна факторкатегории гомотопической категории комплексов коиндуцированных левых C-комодулей по ее минимальной триангулированной категории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-комодулей, почленно коиндуцированных с точных троек A-модулей, и замкнутой относительно бесконечных прямых сумм.

Теорема 2. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A; предположим, что C является проективным левым A-модулем. Тогда контрапроизводная категория абелевой категории левых C-контрамодулей эквивалентна факторкатегории гомотопической категории комплексов индуцированных левых C-контрамодулей по ее минимальной триангулированной категории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-контрамодулей, почленно индуцированных с точных троек A-модулей, и замкнутой относительно бесконечных произведений.

Теорема 3. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A; предположим, что C является плоским левым A-модулем. Тогда контрапроизводная категория точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения эквивалентна факторкатегории гомотопической категории комплексов левых C-контрамодулей, (почленно) индуцированых с А-модулей кокручения, по ее минимальной триангулированной категории, содержащей тотализации точных троек комплексов C-контрамодулей, почленно индуцированных с точных троек A-модулей кокручения, и замкнутой относительно бесконечных произведений.

Во всех трех случаях, сравнительно несложно показать, что естественный функтор (индуцированный вложением гомотопических категорий) является функтором локализации по Вердье. Трудность в проверке полной строгости (или, хотя бы, консервативности). На этот предмет и используется длинное рассуждение из 1102.0261.

Будет ли оно работать в этой ситуации, где индуцированные контрамодули (или коиндуцированные комодули) не образуют даже точной категории?

Известны следующие утверждения, являющиеся частным случаем теоремы Барра-Бека для консервативных точных функторов между абелевыми категориями:

Теорема 1. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся плоским правым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго плоский правый A-модуль. Тогда абелевы категории левых комодулей над кокольцами C над A и B⊗_AC⊗_AB над B эквивалентны; функтор тензорного умножения на B над A задает эту эквивалентность.

Теорема 2. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся проективным левым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго проективный левый A-модуль (в смысле, проективную образующую категории левых A-модулей). Тогда абелевы категории левых контрамодулей над кокольцами C над A и B⊗_AC⊗_AB над B эквивалентны; функтор Hom из B над A задает эту эквивалентность.

Хотелось бы доказать следующий вариант:

Теорема 3. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся плоским левым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго плоский левый A-модуль. Тогда контрапроизводные категории точных категорий левых контрамодулей A-кокручения над кокольцом C над A и левых контрамодулей B-кокручения над кокольцом B⊗_AC⊗_AB над B эквивалентны. Функтор Hom из B над A задает эту эквивалентность; в частности, как функтор между точными категориями контрамодулей кокручения он является вполне строгим.

Идея предполагаемого доказательства теоремы 3: понятно, что обычную теорему Барра-Бека здесь не применишь, но можно рассуждать так. В первых двух перечисленных случаях, обсуждаемый функтор "замены кольца" имеет сопряженный функтор "замены кокольца" (определенный в большей общности произвольного морфизма коколец, согласованного с морфизмом из базовых колец).

В третьем случае, хотелось бы иметь частично определенный сопряженный функтор на точных категориях контрамодулей кокручения, индуцирующий всюду определенный сопряженный функтор на триангулированных категориях. Для этого нам понадобится техническая теорема о резольвентах, про которую будет следующий постинг.

Пусть f: A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий кольцо B в плоский левый A-модуль. Что за условие на гомоморфизм f, что всякий плоский A-модуль кокручения является прямым слагаемым некоторого плоского B-модуля кокручения (рассматриваемого как A-модуль посредством ограничения скаляров)?

Скажем, если заменить "плоские модули кокручения" на "проективные модули", это будет условие, что левый A-модуль B является проективной образующей категории левых A-модулей, т.е., попросту, что гомоморфизм f инъективен и коядро его -- проективный левый A-модуль (насколько я понимаю). А для плоских модулей кокручения как это сказать?

Например, достаточно ли того, чтобы кольцо B было строго плоским левым A-модулем?

Рассмотрим следующий конкретный пример. Пусть R -- факторкольцо кольца многочленов k[x,y] по соотношениям тривиальности всех умножений: x² = xy = y² = 0 (т.е., базис в R образуют элементы 1, x, y). Тогда ядром сюръективного отображения из свободного R-модуля с двумя образующими R ⊕ R в инъективный R-модуль R*, переводящего образующие в вектора x* и y*, является прямая сумма трех копий тривиального R-модуля k.

Поэтому если комплекс Hom_R(R*,J) в какой-то ацикличный комплекс инъективных R-модулей J ацикличен, то ацикличен и комплекс Hom_R(k,J). В последнем случае, очевидно, комплекс J стягиваем. Поэтому, чтобы убедиться, что проективная резольвента R* (рассматриваемая как ацикличный комплекс) не коациклична, достаточно продемонстрировать пример нестягиваемого ацикличного комплекса инъективных R-модулей.

Но если бы такого комплекса не существовало, то копроизводная категория R-модулей совпадала бы с производной категорией, и соответственно совпадали бы их подкатегории компактных объектов, т.е., всякий конечный комплекс конечномерных R-модулей был бы совершенным комплексом. Поскольку локальное кольцо R не регулярно, этого быть не может.

Заметим, что никакого конкретного нестягиваемого ацикличного комплекса инъективных R-модулей мы так и не предъявили...

В контексте экстраординарного обратного образа квазикогерентных пучков при плоском морфизме возник вопрос. Пусть имеется модуль M над кольцом R. Как можно убедиться, что конус морфизма из левой проективной резольвенты M в M не является коацикличным комплексом R-модулей?

Конкретно, пусть R -- конечномерная коммутативная алгебра над полем k, и пусть M = R* -- дуализирующий инъективный модуль. Коациклична ли проективная резольвента M (рассматриваемая вместе с самим M, как ацикличный комплекс)?

Для нетерова кольца R, коацикличность комплекса R-модулей С эквивалентна гомотопности нулю всякого морфизма из него в комплекс инъективных R-модулей J. Если комплекс C ацикличен, можно заменить J на конус морфизма из него в его гомотопически инъективную резольвенту, что позволяет считать J ацикличным тоже. Всякий морфизм из ограниченного сверху комплекса проективных модулей в ацикличный комплекс гомотопен нулю. Вопрос, таким образом, упирается в гомотопность нулю произвольных морфизмов комплексов M → J.

Откуда вообще берутся неограниченные ацикличные комплексы инъективных объектов? Чтобы получить такой комплекс, нужно иметь R-модуль, допускающий левую инъективную резольвенту, что неочевидно. Я привык рассматривать пример фробениусовой алгебры R, но к этой задаче он не подходит.

R-модуль K называется горенштейново инъективным (ср. предыдущий математический постинг, ага), если он является модулем коциклов в неограниченном ацикличном комплексе инъективных модулей, сохраняющем ацикличность при применении функтора Hom из любого инъективного R-модуля. Интересующий нас контрпример был бы связан с существованием R-модуля, допускающего инъективную левую резольвенту, но не являющегося горенштейново инъективным. Откуда брать такие модули?

Видимо, нет альтернативы необходимости иметь дело с определением по типу следующего.

Морфизм CDG-колец (f,a): (B, d_B, h_B) → (A, d_A, h_A) называется абсолютным фильтрованным квазиизоморфизмом, если на обоих кольцах B и A можно выбрать конечные убывающие фильтрации F со следующими свойствами.

Фильтрации F мультипликативны и сохраняются дифференциалами. Уже из этого следует, что присоединенные факторы gr_FB и gr_FA являются CDG-кольцами с дополнительной конечной неотрицательной градуировкой, индуцированной фильтрациями F. Элементы кривизны (как и единичные элементы) этих CDG-колец принадлежат компонентам нулевой дополнительной градуировки и получаются приведением соответствующих элементов в B и A по модулю F¹B и F¹A, соответственно. Таким образом, все компоненты дополнительной градуировки gr_FB и gr_FA являются, помимо прочего, CDG-бикомодулями над компонентой нулевой дополнительной градуировки.

Требуется также, чтобы фильтрации F сохранялись гомоморфизмом f; тогда существует индуцированный морфизм CDG-колец (gr f, a mod F¹): gr_FB → gr_FA. Самое важное условие состоит в том, чтобы нулевая компонента дополнительной градуировки морфизма f, т.е., гомоморфизм CDG-колец B/F¹B → A/F¹A, был изоморфизмом, а остальные компоненты дополнительной градуировки морфизма gr f, рассматриваемые как морфизмы CDG-бикомодулей над B/F¹B = A/F¹A, имели абсолютно ацикличные конуса.

Наконец, этого еще недостаточно, и в зависимости от типа рассматриваемых модулей нужно еще требовать, чтобы компоненты дополнительной градуировки gr_FB и gr_FA были плоскими или проективными левыми или правыми модулями над нулевой компонентой. Морфизмы CDG-колец (f,a): B → A, удовлетворяющие также и этому последнему условию, могут называться проективными слева или плоскими справа абсолютными фильтрованными квазиизоморфизмами, и т.д.

Заметим, что композиции абсолютных фильтрованных квазиизморфизмов вовсе не обязаны быть абсолютными фильтрованными квазиизоморфизмами, т.к. фильтрации на среднем CDG-кольце компонуемой пары, выбранные для входящего и исходящего морфизмов, могут быть никак не связаны между собой. CDG-кольца A и B называются плоско справа абсолютно квазиизоморфными, если их можно связать цепочкой плоских справа абсолютных фильтрованных квазиизоморфизмов (где на каждом промежуточном CDG-кольце в цепочке подразумеваются по две никак не связанные между собой фильтрации).

Это я просто переписал условия из раздела 4.8 мемуара Two kinds..., заменив коалгебры на кольца и все бесконечные возрастающие фильтрации и коквазиизоморфизмы на конечные убывающие фильтрации и абсолютные квазиизоморфизмы. Теперь нужно проверять, что абсолютный фильтрованный квазиизоморфизм CDG-колец (с подходящими условиями плоскости/проективности) не меняет абс. производных/копроизводных/контрапроизводных категорий CDG-модулей.

P.S. Кажется, вот где естественное направление обобщения этих построений: заменить убывающую фильтрацию на двустороннюю, занумерованную отрезком целых чисел по обе стороны нуля. Можно требовать при этом, чтобы элементы кривизны и замены связности принадлежали нулевой компоненте фильтрации. (Ср., однако, раздел 6.8 в Two kinds..., где рассматриваются возрастающие фильтрации более общего вида на CDG-алгебрах.)

Понял наконец, как можно совсем-совсем на пальцах объяснить взаимосвязь и различия между функтором Ext^∞/2+* из статьи в Compositio и функтором SemiExt из книжки в польской серии.

Ситуация, действительно, необычайно проста. Есть две триангулированные категории A' и A'' с общей триангулированной подкатегорией B. Функтор Ext^∞/2+* -- это морфизмы из (фиксированного на мгновение) объекта категории A' в (фиксированный) объект категории A'' через (произвольные) объекты подкатегории B.

Далее, обе категории A' и A'' с их общей подкатегорией B можно целиком погрузить как полные подкатегории в огромную объемлющую триангулированную категорию D. Кажется, я даже могу проверить, что пересечение A' и A'' внутри D есть в точности B. Ну так вот, функтор SemiExt есть просто обычный Hom в категории D.

Теперь, конечно, нет никакой причины, чтобы всякий морфизм из объекта подкатегории A' в объект подкатегории A'' в категории D пропускался через какой-то объект из B. Более того, в интересующих нас ситуациях это фактически неверно. Морфизмы, факторизующиеся через B -- это такие "полубесконечные когомологии с компактным носителем", а морфизмы в категории D -- "обычные полубесконечные когомологии".

Наконец, есть очень особенная знакоопределенно градуированная ситуация, когда два функтора -- по-прежнему никоим образом не совпадающие -- отличаются всего лишь способом перехода от градуированного векторного пространства к неградуированному. "Когомологии с компактным носителем" представляют собой бесконечную прямую сумму неких конечномерных пространств, в то время как "обычные когомологии" суть их же бесконечное произведение.

Другими словами, в этом последнем случае есть некое просто формулируемое "условие конечности", выделяющее морфизмы (в D между объектами из A' и A''), факторизующиеся через B, среди произвольных. При этом факторизующиеся факторизуются единственным (с точностью до эквивалентности) образом, что тоже в общем случае ниоткуда не следует.

... Ну, и что мешало осознать все это еще в 2008 году?