![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть K -- коммутативное нетерово кольцо, I ⊂ K -- конечно-порожденный идеал, A и B -- ассоциативные K-алгебры, причем кольцо A нетерово слева, а B -- справа. Конечный комплекс A-B-бимодулей D называется дуализирующим комплексом для A и B над (K,I), если выполнены следующие условия:
(i) D является комплексом инъективных левых A-модулей и комплексом инъективных правых B-модулей;
(ii) каждый элемент D аннулируется некоторой степенью идеала I;
(iii) для любого натурального n, комплекс D(n) = D(In) является дуализирующим комплексом для колец A/InA и B/InB (ср. с леммой 2 из предыдущего постинга).
Будем называть K-модулем (или A-модулем) I-кручения такой K-модуль (соответственно, A-модуль), всякий элемент которого аннулируется некоторой степенью идеала I. Аналогично, будем называть (B,I)-контрамодулем контрамодуль над I-адическим пополнением кольца B, или, что то же самое, B-модуль, являющийся (K,I)-контрамодулем.
Теорема. Выбор дуализирующего комплекса D для A и B над (K,I) индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией левых A-модулей I-кручения и контрапроизводной категорией левых (B,I)-контрамодулей.
Доказательство: копроизводная категория отождествляется с гомотопической категорией инъективных A-модулей I-кручения; контрапроизводная -- с абсолютной производной категорией B-плоских (B,I)-контрамодулей. Используются результаты постинга http://posic.livejournal.com/934137.html и тот факт, что всякий инъективный объект в категории левых A-модулей I-кручения является одновременно инъективным левым А-модулем (лемма Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в нетеровых кольцах). Между описанными категориями действуют функторы Hom над A из D и тензорного умножения над B на D. Для доказательства взаимной обратности используется лемма 1 из предыдущего постинга.
(i) D является комплексом инъективных левых A-модулей и комплексом инъективных правых B-модулей;
(ii) каждый элемент D аннулируется некоторой степенью идеала I;
(iii) для любого натурального n, комплекс D(n) = D(In) является дуализирующим комплексом для колец A/InA и B/InB (ср. с леммой 2 из предыдущего постинга).
Будем называть K-модулем (или A-модулем) I-кручения такой K-модуль (соответственно, A-модуль), всякий элемент которого аннулируется некоторой степенью идеала I. Аналогично, будем называть (B,I)-контрамодулем контрамодуль над I-адическим пополнением кольца B, или, что то же самое, B-модуль, являющийся (K,I)-контрамодулем.
Теорема. Выбор дуализирующего комплекса D для A и B над (K,I) индуцирует эквивалентность между копроизводной категорией левых A-модулей I-кручения и контрапроизводной категорией левых (B,I)-контрамодулей.
Доказательство: копроизводная категория отождествляется с гомотопической категорией инъективных A-модулей I-кручения; контрапроизводная -- с абсолютной производной категорией B-плоских (B,I)-контрамодулей. Используются результаты постинга http://posic.livejournal.com/934137.html и тот факт, что всякий инъективный объект в категории левых A-модулей I-кручения является одновременно инъективным левым А-модулем (лемма Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в нетеровых кольцах). Между описанными категориями действуют функторы Hom над A из D и тензорного умножения над B на D. Для доказательства взаимной обратности используется лемма 1 из предыдущего постинга.
