Абсолютные квазиизоморфизмы CDG-колец
Feb. 14th, 2013 04:27 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВидимо, нет альтернативы необходимости иметь дело с определением по типу следующего.
Морфизм CDG-колец (f,a): (B, dB, hB) → (A, dA, hA) называется абсолютным фильтрованным квазиизоморфизмом, если на обоих кольцах B и A можно выбрать конечные убывающие фильтрации F со следующими свойствами.
Фильтрации F мультипликативны и сохраняются дифференциалами. Уже из этого следует, что присоединенные факторы grFB и grFA являются CDG-кольцами с дополнительной конечной неотрицательной градуировкой, индуцированной фильтрациями F. Элементы кривизны (как и единичные элементы) этих CDG-колец принадлежат компонентам нулевой дополнительной градуировки и получаются приведением соответствующих элементов в B и A по модулю F1B и F1A, соответственно. Таким образом, все компоненты дополнительной градуировки grFB и grFA являются, помимо прочего, CDG-бикомодулями над компонентой нулевой дополнительной градуировки.
Требуется также, чтобы фильтрации F сохранялись гомоморфизмом f; тогда существует индуцированный морфизм CDG-колец (gr f, a mod F1): grFB → grFA. Самое важное условие состоит в том, чтобы нулевая компонента дополнительной градуировки морфизма f, т.е., гомоморфизм CDG-колец B/F1B → A/F1A, был изоморфизмом, а остальные компоненты дополнительной градуировки морфизма gr f, рассматриваемые как морфизмы CDG-бикомодулей над B/F1B = A/F1A, имели абсолютно ацикличные конуса.
Наконец, этого еще недостаточно, и в зависимости от типа рассматриваемых модулей нужно еще требовать, чтобы компоненты дополнительной градуировки grFB и grFA были плоскими или проективными левыми или правыми модулями над нулевой компонентой. Морфизмы CDG-колец (f,a): B → A, удовлетворяющие также и этому последнему условию, могут называться проективными слева или плоскими справа абсолютными фильтрованными квазиизоморфизмами, и т.д.
Заметим, что композиции абсолютных фильтрованных квазиизморфизмов вовсе не обязаны быть абсолютными фильтрованными квазиизоморфизмами, т.к. фильтрации на среднем CDG-кольце компонуемой пары, выбранные для входящего и исходящего морфизмов, могут быть никак не связаны между собой. CDG-кольца A и B называются плоско справа абсолютно квазиизоморфными, если их можно связать цепочкой плоских справа абсолютных фильтрованных квазиизоморфизмов (где на каждом промежуточном CDG-кольце в цепочке подразумеваются по две никак не связанные между собой фильтрации).
Это я просто переписал условия из раздела 4.8 мемуара Two kinds..., заменив коалгебры на кольца и все бесконечные возрастающие фильтрации и коквазиизоморфизмы на конечные убывающие фильтрации и абсолютные квазиизоморфизмы. Теперь нужно проверять, что абсолютный фильтрованный квазиизоморфизм CDG-колец (с подходящими условиями плоскости/проективности) не меняет абс. производных/копроизводных/контрапроизводных категорий CDG-модулей.
P.S. Кажется, вот где естественное направление обобщения этих построений: заменить убывающую фильтрацию на двустороннюю, занумерованную отрезком целых чисел по обе стороны нуля. Можно требовать при этом, чтобы элементы кривизны и замены связности принадлежали нулевой компоненте фильтрации. (Ср., однако, раздел 6.8 в Two kinds..., где рассматриваются возрастающие фильтрации более общего вида на CDG-алгебрах.)
Морфизм CDG-колец (f,a): (B, dB, hB) → (A, dA, hA) называется абсолютным фильтрованным квазиизоморфизмом, если на обоих кольцах B и A можно выбрать конечные убывающие фильтрации F со следующими свойствами.
Фильтрации F мультипликативны и сохраняются дифференциалами. Уже из этого следует, что присоединенные факторы grFB и grFA являются CDG-кольцами с дополнительной конечной неотрицательной градуировкой, индуцированной фильтрациями F. Элементы кривизны (как и единичные элементы) этих CDG-колец принадлежат компонентам нулевой дополнительной градуировки и получаются приведением соответствующих элементов в B и A по модулю F1B и F1A, соответственно. Таким образом, все компоненты дополнительной градуировки grFB и grFA являются, помимо прочего, CDG-бикомодулями над компонентой нулевой дополнительной градуировки.
Требуется также, чтобы фильтрации F сохранялись гомоморфизмом f; тогда существует индуцированный морфизм CDG-колец (gr f, a mod F1): grFB → grFA. Самое важное условие состоит в том, чтобы нулевая компонента дополнительной градуировки морфизма f, т.е., гомоморфизм CDG-колец B/F1B → A/F1A, был изоморфизмом, а остальные компоненты дополнительной градуировки морфизма gr f, рассматриваемые как морфизмы CDG-бикомодулей над B/F1B = A/F1A, имели абсолютно ацикличные конуса.
Наконец, этого еще недостаточно, и в зависимости от типа рассматриваемых модулей нужно еще требовать, чтобы компоненты дополнительной градуировки grFB и grFA были плоскими или проективными левыми или правыми модулями над нулевой компонентой. Морфизмы CDG-колец (f,a): B → A, удовлетворяющие также и этому последнему условию, могут называться проективными слева или плоскими справа абсолютными фильтрованными квазиизоморфизмами, и т.д.
Заметим, что композиции абсолютных фильтрованных квазиизморфизмов вовсе не обязаны быть абсолютными фильтрованными квазиизоморфизмами, т.к. фильтрации на среднем CDG-кольце компонуемой пары, выбранные для входящего и исходящего морфизмов, могут быть никак не связаны между собой. CDG-кольца A и B называются плоско справа абсолютно квазиизоморфными, если их можно связать цепочкой плоских справа абсолютных фильтрованных квазиизоморфизмов (где на каждом промежуточном CDG-кольце в цепочке подразумеваются по две никак не связанные между собой фильтрации).
Это я просто переписал условия из раздела 4.8 мемуара Two kinds..., заменив коалгебры на кольца и все бесконечные возрастающие фильтрации и коквазиизоморфизмы на конечные убывающие фильтрации и абсолютные квазиизоморфизмы. Теперь нужно проверять, что абсолютный фильтрованный квазиизоморфизм CDG-колец (с подходящими условиями плоскости/проективности) не меняет абс. производных/копроизводных/контрапроизводных категорий CDG-модулей.
P.S. Кажется, вот где естественное направление обобщения этих построений: заменить убывающую фильтрацию на двустороннюю, занумерованную отрезком целых чисел по обе стороны нуля. Можно требовать при этом, чтобы элементы кривизны и замены связности принадлежали нулевой компоненте фильтрации. (Ср., однако, раздел 6.8 в Two kinds..., где рассматриваются возрастающие фильтрации более общего вида на CDG-алгебрах.)
