Задача про копроизводную категорию
Feb. 18th, 2013 08:17 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ контексте экстраординарного обратного образа квазикогерентных пучков при плоском морфизме возник вопрос. Пусть имеется модуль M над кольцом R. Как можно убедиться, что конус морфизма из левой проективной резольвенты M в M не является коацикличным комплексом R-модулей?
Конкретно, пусть R -- конечномерная коммутативная алгебра над полем k, и пусть M = R* -- дуализирующий инъективный модуль. Коациклична ли проективная резольвента M (рассматриваемая вместе с самим M, как ацикличный комплекс)?
Для нетерова кольца R, коацикличность комплекса R-модулей С эквивалентна гомотопности нулю всякого морфизма из него в комплекс инъективных R-модулей J. Если комплекс C ацикличен, можно заменить J на конус морфизма из него в его гомотопически инъективную резольвенту, что позволяет считать J ацикличным тоже. Всякий морфизм из ограниченного сверху комплекса проективных модулей в ацикличный комплекс гомотопен нулю. Вопрос, таким образом, упирается в гомотопность нулю произвольных морфизмов комплексов M → J.
Откуда вообще берутся неограниченные ацикличные комплексы инъективных объектов? Чтобы получить такой комплекс, нужно иметь R-модуль, допускающий левую инъективную резольвенту, что неочевидно. Я привык рассматривать пример фробениусовой алгебры R, но к этой задаче он не подходит.
R-модуль K называется горенштейново инъективным (ср. предыдущий математический постинг, ага), если он является модулем коциклов в неограниченном ацикличном комплексе инъективных модулей, сохраняющем ацикличность при применении функтора Hom из любого инъективного R-модуля. Интересующий нас контрпример был бы связан с существованием R-модуля, допускающего инъективную левую резольвенту, но не являющегося горенштейново инъективным. Откуда брать такие модули?
Конкретно, пусть R -- конечномерная коммутативная алгебра над полем k, и пусть M = R* -- дуализирующий инъективный модуль. Коациклична ли проективная резольвента M (рассматриваемая вместе с самим M, как ацикличный комплекс)?
Для нетерова кольца R, коацикличность комплекса R-модулей С эквивалентна гомотопности нулю всякого морфизма из него в комплекс инъективных R-модулей J. Если комплекс C ацикличен, можно заменить J на конус морфизма из него в его гомотопически инъективную резольвенту, что позволяет считать J ацикличным тоже. Всякий морфизм из ограниченного сверху комплекса проективных модулей в ацикличный комплекс гомотопен нулю. Вопрос, таким образом, упирается в гомотопность нулю произвольных морфизмов комплексов M → J.
Откуда вообще берутся неограниченные ацикличные комплексы инъективных объектов? Чтобы получить такой комплекс, нужно иметь R-модуль, допускающий левую инъективную резольвенту, что неочевидно. Я привык рассматривать пример фробениусовой алгебры R, но к этой задаче он не подходит.
R-модуль K называется горенштейново инъективным (ср. предыдущий математический постинг, ага), если он является модулем коциклов в неограниченном ацикличном комплексе инъективных модулей, сохраняющем ацикличность при применении функтора Hom из любого инъективного R-модуля. Интересующий нас контрпример был бы связан с существованием R-модуля, допускающего инъективную левую резольвенту, но не являющегося горенштейново инъективным. Откуда брать такие модули?
