![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЛемма 1. Пусть R → Sα -- конечный набор морфизмов нетеровых колец, такой что соответствующий набор морфизмов аффинных схем Spec Sα → Spec R является открытым покрытием. Пусть I -- идеал в кольце R, и Jα -- его расширения в Sα. Наконец, пусть P -- контраприспособленный R-модуль. Тогда R-модуль P является (R,I)-контрамодулем в том и только том случае, когда Sα-модули HomR(Sα,P) являются (Sα,Jα)-контрамодулями для всех α.
Доказательство: "только тогда" -- частный случай леммы 2 из предыдущего постинга. Чтобы доказать "тогда", надо использовать леммы 1-2 из предыдущего постинга + "контрагерентную" резольвенту Чеха контраприспособленного R-модуля P.
Лемма 2. Пусть пусть R → S -- гомоморфизм нетеровых колец, такой что соответствующий морфизм аффинных схем Spec S → Spec R является открытым вложением. Пусть I ⊂ J -- два идеала в кольце R; обозначим через SI и SJ расширения этих идеалов в S. Тогда функторы "слабого пополнения" из категории R-плоских R-контраприспособленных (R,I)-контрамодулей в категорию R-плоских R-контраприспособленных (R,J)-контрамодулей и из категории S-плоских S-контраприспособленных (S,SI)-контрамодулей в категорию S-плоских S-контраприспособленных (S,SJ)-контрамодулей образуют коммутативную диаграмму с функторами HomR(S,−).
Доказательство: условие, что морфизм аффинных схем является открытым вложением, нужно для того, чтобы функтор корасширения скаляров HomR(S,−) сохранял плоскость контраприспособленных модулей, см. Corollary 1.7.5(a) из контрагерентного препринта. В остальной части рассуждения используется только предположение, что морфизм схем очень плоский (или плоский, если ограничиваться контрамодулями кокручения).
Собственно доказательство основано на явной конструкции из леммы 5 предыдущего постинга и лемме 1.7.6(c) из контрагерентного препринта (примененяемой к морфизмам колец R → R/Jn и R-модулю F=S), позволяющей в явном виде проверить коммутацию функторов.
Лемма 3. Пусть U -- нетерова аффинная схема, Ured -- ее максимальная приведенная замкнутая подсхема, и i: Ured → U -- отображение замкнутого вложения. Пусть P -- локально инъективный локально контрагерентный копучок на U. Тогда если локально инъективный локально контрагерентный копучок i!P контрагерентен на всей Ured, то копучок P контрагерентен на всей U.
Доказательство: ввиду гомологического критерия контрагерентности локально контрагерентного копучка на аффинной схеме (лемма 3.2.2 из архивного препринта), дело сводится к следующему утверждению про комплексы модулей над кольцом.
Пусть R -- коммутативное кольцо, Rred = R/r -- его факторкольцо по нильрадикалу, и I = (In → … → I0) -- конечный комплекс инъективных R-модулей. Тогда если максимальный подкомплекс rI ⊂ I в I, аннулируемый r, ацикличен во всех членах, кроме, может быть, самого правого члена rI0, то и исходный комплекс I ацикличен во всех членах, кроме, может быть, I0. Последнее утверждение легко проверяется по индукции с помощью "двойственной леммы Накаямы" (любой ненулевой R-модуль имеет ненулевой подмодуль элементов, аннулируемых r).
Доказательство: "только тогда" -- частный случай леммы 2 из предыдущего постинга. Чтобы доказать "тогда", надо использовать леммы 1-2 из предыдущего постинга + "контрагерентную" резольвенту Чеха контраприспособленного R-модуля P.
Лемма 2. Пусть пусть R → S -- гомоморфизм нетеровых колец, такой что соответствующий морфизм аффинных схем Spec S → Spec R является открытым вложением. Пусть I ⊂ J -- два идеала в кольце R; обозначим через SI и SJ расширения этих идеалов в S. Тогда функторы "слабого пополнения" из категории R-плоских R-контраприспособленных (R,I)-контрамодулей в категорию R-плоских R-контраприспособленных (R,J)-контрамодулей и из категории S-плоских S-контраприспособленных (S,SI)-контрамодулей в категорию S-плоских S-контраприспособленных (S,SJ)-контрамодулей образуют коммутативную диаграмму с функторами HomR(S,−).
Доказательство: условие, что морфизм аффинных схем является открытым вложением, нужно для того, чтобы функтор корасширения скаляров HomR(S,−) сохранял плоскость контраприспособленных модулей, см. Corollary 1.7.5(a) из контрагерентного препринта. В остальной части рассуждения используется только предположение, что морфизм схем очень плоский (или плоский, если ограничиваться контрамодулями кокручения).
Собственно доказательство основано на явной конструкции из леммы 5 предыдущего постинга и лемме 1.7.6(c) из контрагерентного препринта (примененяемой к морфизмам колец R → R/Jn и R-модулю F=S), позволяющей в явном виде проверить коммутацию функторов.
Лемма 3. Пусть U -- нетерова аффинная схема, Ured -- ее максимальная приведенная замкнутая подсхема, и i: Ured → U -- отображение замкнутого вложения. Пусть P -- локально инъективный локально контрагерентный копучок на U. Тогда если локально инъективный локально контрагерентный копучок i!P контрагерентен на всей Ured, то копучок P контрагерентен на всей U.
Доказательство: ввиду гомологического критерия контрагерентности локально контрагерентного копучка на аффинной схеме (лемма 3.2.2 из архивного препринта), дело сводится к следующему утверждению про комплексы модулей над кольцом.
Пусть R -- коммутативное кольцо, Rred = R/r -- его факторкольцо по нильрадикалу, и I = (In → … → I0) -- конечный комплекс инъективных R-модулей. Тогда если максимальный подкомплекс rI ⊂ I в I, аннулируемый r, ацикличен во всех членах, кроме, может быть, самого правого члена rI0, то и исходный комплекс I ацикличен во всех членах, кроме, может быть, I0. Последнее утверждение легко проверяется по индукции с помощью "двойственной леммы Накаямы" (любой ненулевой R-модуль имеет ненулевой подмодуль элементов, аннулируемых r).
