![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
Пусть R -- нетерово справа ассоциативное кольцо, m -- идеал в R, порожденный центральными элементами. Пусть Rm^ обозначает пополнение R в m-адической топологии, рассматриваемое как топологическое кольцо.
Теорема 1. 1) Левый Rm^-контрамодуль P является плоским R-модулем тогда и только тогда, когда все R/mn-модули P/mnP плоские. Кроме того, в этих условиях естественное отображение P → limn P/mnP является изоморфизмом.
2) В частности, свободные левые Rm^-контрамодули являются плоскими R-модулями.
3) Для любого плоского R-модуля F, такого что R/m-модуль F/mF проективен, и любого Rm^-контрамодуля Q, группы ExtR>0(F,Q), посчитанные в категории R-модулей, зануляются.
4) В частности, забывающий функтор Rm^-contra → R-mod индуцирует изоморфизмы на всех группах Ext.
5) Кроме того, левый Rm^-контрамодуль F проективен тогда и только тогда, когда он R-плоский и R/m-модуль F/mF проективен.
Утверждение 3) не зависит ни от каких предположений нетеровости. Правая нетеровость кольца R используется в доказательстве пункта 1) (от которого зависят 2) и 4)-5)).
Теорема 2. Предположим, что все плоские левые R/m-модули имеют конечную проективную размерность. Тогда контрапроизводная категория левых Rm^-контрамодулей эквивалентна абсолютной производной категории R-плоских левых Rm^-контрамодулей и гомотопической категории комплексов свободных левых Rm^-контрамодулей.
Доказательство: очевидно, в наших предположениях класс плоских левых R-модулей (и следовательно, R-плоских левых Rm^-контрамодулей) замкнут относительно бесконечных произведений, так что остается показать, что всяких R-плоский левый Rm^-контрамодуль имеет конечную проективную размерность в Rm^-contra. Последнее следует из пункта 5) теоремы 1.
Теорема 1. 1) Левый Rm^-контрамодуль P является плоским R-модулем тогда и только тогда, когда все R/mn-модули P/mnP плоские. Кроме того, в этих условиях естественное отображение P → limn P/mnP является изоморфизмом.
2) В частности, свободные левые Rm^-контрамодули являются плоскими R-модулями.
3) Для любого плоского R-модуля F, такого что R/m-модуль F/mF проективен, и любого Rm^-контрамодуля Q, группы ExtR>0(F,Q), посчитанные в категории R-модулей, зануляются.
4) В частности, забывающий функтор Rm^-contra → R-mod индуцирует изоморфизмы на всех группах Ext.
5) Кроме того, левый Rm^-контрамодуль F проективен тогда и только тогда, когда он R-плоский и R/m-модуль F/mF проективен.
Утверждение 3) не зависит ни от каких предположений нетеровости. Правая нетеровость кольца R используется в доказательстве пункта 1) (от которого зависят 2) и 4)-5)).
Теорема 2. Предположим, что все плоские левые R/m-модули имеют конечную проективную размерность. Тогда контрапроизводная категория левых Rm^-контрамодулей эквивалентна абсолютной производной категории R-плоских левых Rm^-контрамодулей и гомотопической категории комплексов свободных левых Rm^-контрамодулей.
Доказательство: очевидно, в наших предположениях класс плоских левых R-модулей (и следовательно, R-плоских левых Rm^-контрамодулей) замкнут относительно бесконечных произведений, так что остается показать, что всяких R-плоский левый Rm^-контрамодуль имеет конечную проективную размерность в Rm^-contra. Последнее следует из пункта 5) теоремы 1.