posic

Рассмотрим следующий конкретный пример. Пусть R -- факторкольцо кольца многочленов k[x,y] по соотношениям тривиальности всех умножений: x² = xy = y² = 0 (т.е., базис в R образуют элементы 1, x, y). Тогда ядром сюръективного отображения из свободного R-модуля с двумя образующими R ⊕ R в инъективный R-модуль R*, переводящего образующие в вектора x* и y*, является прямая сумма трех копий тривиального R-модуля k.

Поэтому если комплекс Hom_R(R*,J) в какой-то ацикличный комплекс инъективных R-модулей J ацикличен, то ацикличен и комплекс Hom_R(k,J). В последнем случае, очевидно, комплекс J стягиваем. Поэтому, чтобы убедиться, что проективная резольвента R* (рассматриваемая как ацикличный комплекс) не коациклична, достаточно продемонстрировать пример нестягиваемого ацикличного комплекса инъективных R-модулей.

Но если бы такого комплекса не существовало, то копроизводная категория R-модулей совпадала бы с производной категорией, и соответственно совпадали бы их подкатегории компактных объектов, т.е., всякий конечный комплекс конечномерных R-модулей был бы совершенным комплексом. Поскольку локальное кольцо R не регулярно, этого быть не может.

Заметим, что никакого конкретного нестягиваемого ацикличного комплекса инъективных R-модулей мы так и не предъявили...