![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПонял наконец, как можно совсем-совсем на пальцах объяснить взаимосвязь и различия между функтором Ext∞/2+* из статьи в Compositio и функтором SemiExt из книжки в польской серии.
Ситуация, действительно, необычайно проста. Есть две триангулированные категории A' и A'' с общей триангулированной подкатегорией B. Функтор Ext∞/2+* -- это морфизмы из (фиксированного на мгновение) объекта категории A' в (фиксированный) объект категории A'' через (произвольные) объекты подкатегории B.
Далее, обе категории A' и A'' с их общей подкатегорией B можно целиком погрузить как полные подкатегории в огромную объемлющую триангулированную категорию D. Кажется, я даже могу проверить, что пересечение A' и A'' внутри D есть в точности B. Ну так вот, функтор SemiExt есть просто обычный Hom в категории D.
Теперь, конечно, нет никакой причины, чтобы всякий морфизм из объекта подкатегории A' в объект подкатегории A'' в категории D пропускался через какой-то объект из B. Более того, в интересующих нас ситуациях это фактически неверно. Морфизмы, факторизующиеся через B -- это такие "полубесконечные когомологии с компактным носителем", а морфизмы в категории D -- "обычные полубесконечные когомологии".
Наконец, есть очень особенная знакоопределенно градуированная ситуация, когда два функтора -- по-прежнему никоим образом не совпадающие -- отличаются всего лишь способом перехода от градуированного векторного пространства к неградуированному. "Когомологии с компактным носителем" представляют собой бесконечную прямую сумму неких конечномерных пространств, в то время как "обычные когомологии" суть их же бесконечное произведение.
Другими словами, в этом последнем случае есть некое просто формулируемое "условие конечности", выделяющее морфизмы (в D между объектами из A' и A''), факторизующиеся через B, среди произвольных. При этом факторизующиеся факторизуются единственным (с точностью до эквивалентности) образом, что тоже в общем случае ниоткуда не следует.
... Ну, и что мешало осознать все это еще в 2008 году?
Ситуация, действительно, необычайно проста. Есть две триангулированные категории A' и A'' с общей триангулированной подкатегорией B. Функтор Ext∞/2+* -- это морфизмы из (фиксированного на мгновение) объекта категории A' в (фиксированный) объект категории A'' через (произвольные) объекты подкатегории B.
Далее, обе категории A' и A'' с их общей подкатегорией B можно целиком погрузить как полные подкатегории в огромную объемлющую триангулированную категорию D. Кажется, я даже могу проверить, что пересечение A' и A'' внутри D есть в точности B. Ну так вот, функтор SemiExt есть просто обычный Hom в категории D.
Теперь, конечно, нет никакой причины, чтобы всякий морфизм из объекта подкатегории A' в объект подкатегории A'' в категории D пропускался через какой-то объект из B. Более того, в интересующих нас ситуациях это фактически неверно. Морфизмы, факторизующиеся через B -- это такие "полубесконечные когомологии с компактным носителем", а морфизмы в категории D -- "обычные полубесконечные когомологии".
Наконец, есть очень особенная знакоопределенно градуированная ситуация, когда два функтора -- по-прежнему никоим образом не совпадающие -- отличаются всего лишь способом перехода от градуированного векторного пространства к неградуированному. "Когомологии с компактным носителем" представляют собой бесконечную прямую сумму неких конечномерных пространств, в то время как "обычные когомологии" суть их же бесконечное произведение.
Другими словами, в этом последнем случае есть некое просто формулируемое "условие конечности", выделяющее морфизмы (в D между объектами из A' и A''), факторизующиеся через B, среди произвольных. При этом факторизующиеся факторизуются единственным (с точностью до эквивалентности) образом, что тоже в общем случае ниоткуда не следует.
... Ну, и что мешало осознать все это еще в 2008 году?
