Очередное интервью Ландо про матфак ВШЭ

[posic]

На 4-й странице 17-го номера "Троицкого варианта" -- http://www.scientific.ru/trv/17N.pdf

Порекламирую новый математический факультет Высшей Школы Экономики и я. Я знаю сейчас в России всего два высших учебных заведения, которые хотя бы стремятся преподавать современную фундамендальную математику (а не устаревшую лет на 100 инженерно-прикладную). Это один частный университет -- НМУ, и один факультет государственного университета -- матфак ВШЭ.

Comments

[akater.livejournal.com]

Вот, например, несколько тем, о которых студентам забывают сообщить.

Пространства Holder'а H^λ и h^λ (0 < λ < 1), а также H^ω (ω — характеристическая функция).
Модули непрерывности (первого и высших порядков).
Дробное дифференциальное исчисление.
Производные: производная Dini, аппроксимативная производная.*
Ускорение сходимости вообще и систематические рассказы об усреднении в частности.**
Недифференцируемая оптимизация.
Классификация Baire'а.
Теория интеграла — не с позиций теории меры, а с позиций Denjoy.

Все эти темы имеют отношение к задачам аппроксимации, к конструктивной теории функций. Интерполяция и экстраполяция — это прикладная математика, не правда ли? В этом списке есть как «старые» темы, так и «свежие», как непосредственно прикладные, так и теоретические. Всем хватит. На факультете прикладной математики должно изучаться это всё (в обязательном или необязательном виде — это уже детали). И компьютер при этом, конечно, не должен простаивать в углу. Приведённый список можно расширить. Можно открыть, например, содержание книги Натансона «Конструктивная теория функций». При этом не стоит забывать, что она тоже далеко не современная, и что за последние 50 лет тоже писались статьи (да и программы тоже писались). Кто сейчас занимается их собирательством, классификацией? Если кто-то и занимается, хороших учебников на эту тему на русском языке не пишут. Монографии иногда пишут. Это необходимо, но не достаточно. Как обстоят с этим дела в остальном мире, я не знаю. Есть подозрение, что лучше, но не намного. В Википедии про многие важные вещи не написано вообще. Я думаю, если бы были хорошие учебники, их бы переводили.


_____________
* Между прочим, это понятие, пришедшее из чистой ТФДП, оказалось связанным с хорошо известной теперь обобщённой производной. Сколько всего существует определений производной, помимо производной Cauchy, мне точно не известно. Видимо, порядка десяти имеется. Рассказывают же только про две: обыкновенную и обобщённую (которая не очень-то и производная).
** Систематическое изложение идей об усреднении в современных книгах по анализу для студентов-первокурсников я ещё не видел. Может, всё-таки есть? Непонятно, почему такая интуитивно прозрачная вещь объясняется окольными путями. До этого вообще каждый может додуматься сам, нужно только подтолкнуть в правильном направлении.

[posic.livejournal.com]

Поискал некоторые из этих вещей на сети. Что-то даже нашел. Спасибо!

[posic.livejournal.com]

Я бы хотел задать вам еще такой вопрос, если позволите. Вы объяснили, что в существующих курсах прикладной математики (включая и курс мехмата, если рассматривать его как курс прикладной математики) недостает многих важных вещей. Представьте, что вам предложили бы составить некую оптимальную, с вашей точки зрения, программу курса прикладной математики (оставим в стороне вопрос о том, должна ли это быть программа обязательная или свободно выбираемая). Я так понимаю, что если в существующие программы следует многое добавить, то из них также следует многое убрать, иначе у студентов просто не хватит времени. Что есть лишнего, что вы хотели бы выбросить из существующих курсов прикладной математики (включая и программу мехмата, если рассматривать ее как программу курса прикладной математики)?

Ответ, часть I

[akater.livejournal.com]

Да, есть вещи, которые можно отбрасывать. Вот, например, сечения Дедекинда вроде «лежат в основе анализа», с теоретической точки зрения. Но на самом деле они никому не нужны. По моему скромному мнению, прикладников не нужно обвешивать чисто техническими вопросами. Так, мне кажется, им можно с чистой совестью позволить пропускать мимо себя доказательства существования мер на локально компактных пространствах, разбиений единицы, или доказательство теоремы Кантора–Бернштейна. Но здесь надо действовать аккуратно. Некоторые доказательства (или их центральные идеи) имеют принципиальную ценность. Главное соображение, которым надо руководствоваться на этом пути, по-моему, — чтобы курсы обязательно содержали большое количество разобранных примеров. Студент ФПМ должен регулярно видеть, как на его глазах решаются задачи. Я знаю, что это реально, потому что я сам такое видел. И далеко не на самом «приземлённом» предмете, надо сказать, — на семинарах по квантовой механике.

Ответ, часть II

[akater.livejournal.com]

Если же говорить не о деталях, а о целых курсах, которые надо выбросить, то тут я мало что могу сказать. Я лично совершенно не понимаю, какой прок будет на факультете ПМ от, скажем, гомологической алгебры*, теории категорий или теории Галуа. Но я думаю, что по таким вопросам надо консультироваться с теми, кто в этих вещах хорошо разбирается. Я же не разибраюсь ни в чём из этого. Но можно рассмотреть простой пример. Я знаю, что теория Галуа выросла из задачи о том, какие полиномиальные уравнения имеют корни, выразимые в радикалах. В XIX веке это был, видимо, актуальный вопрос, потому что хотелось знать, на что можно рассчитывать при решении полиномиальных уравнений. Но сейчас всё иначе. Хватило бы времени и других ресурсов** — и даже сложное полиномиальное уравнение можно будет решить численно. Вопрос в том, как это оптимальнее делать. Сам результат о неразрешимости можно просто принять на веру и иметь в виду. Конечно, у теории Галуа есть ещё какие-то грани, помимо разрешимости уравнений, но лично я в них пока не разобрался. Надо спрашивать у специалистов. Но далеко не всем им интересно выяснять о прикладных аспектах того, чем они заняты. Для этого нужно быть разносторониим человеком, нужно интересоваться и теорией Галуа, и сельским хозяйством. Это редкость.

Словом, я не вижу, что можно взять и выбросить. Но многие технические детали нередко можно опустить. Когда-нибудь интерес к той или иной формальной конструкции всё равно появится, а когда появится, даже запутанная и плохо написаннная книга про «Общую теорию того-то и того-то» может стать понятной и полезной. Главное, чтобы студент к тому моменту, когда ему захочется в эту книгу заглянуть, научился следить за доказательствами и знал, что считается строгим доказательством. А как именно там доказывается теорема о среднем — это не очень важно.*** Равно как не важен и тот факт, что сложение, умножение и всякие корни из вещественных чисел есть корректно определённые операции.

...Вот есть люди, которые говорят, что не надо уметь интегрировать, поскольку существует алгоритм Risch'а, который бла-бла-бла. Я с этим категорически не согласен. Это то же самое, что «поскольку есть калькуляторы, не надо уметь считать». Считать надо уметь. Другое дело, что излишне читать отдельную лекцию на тему «как брать такие-то интегралы в элементарных функциях». И конечно, про алгоритм Risch'а надо обязательно рассказывать.


__________________
* И вообще от понятия гомологий и когомологий; я выучил, что это такое, как попугай — я достаточно часто встречал их для того перед собой — но до сих пор совершенно не представляю, как кому-то могла придти в голову идея придумать определения этих понятий. Всё ещё впереди, видимо.

** Несравнимых с теми, которые требовались в XIX веке.

*** Особенно если она доказывается неконструктивно. Помню, как я недоумевал вначале, зачем теорема о среднем вообще нужна. Теорема гласит, думаю я: чтобы вычислить интеграл, достаточно знать некое число. Я говорю: а как найти это число? Мне отвечают: так вот, в доказательстве сказано: посчитать интеграл. Я подумал, что это вообще издевательство. Мне потребовалось больше одного дня жизни, чтобы осознать, что это представление нужно не для вычислений, а чтобы потом можно было доказывать какие-то другие теоремы. В данном случае больше одного дня жизни тратить было явно излишне. Не думаю, что тут дело в том, что я тугодум. Просто ожидания не оправдались. Их стоило развеять заранее.

Re: Ответ, часть II

[posic.livejournal.com]

Теория Галуа позволяет решать в радикалах конкретные уравнения во всех тех случаях, когда это возможно. Задача ставится так: дано уравнение, скажем, с рациональными коэффициентами. Требуется выяснить, можно ли выразить его корни в виде выражений от каких-то других рациональных чисел с помощью знаков четырех арифметических операций и радикалов. И если можно, то какие именно радикалы туда будут входить, и так далее. И выписать в этом случае формулы для корней в явном виде. Эта задача алгоритмически разрешима (об этом написано в книжке Постникова "Теория Галуа").

Интересна ли эта задача прикладникам, я, конечно, не знаю. Собственно, это вопрос о том, кто такие вообще прикладники. Людям, которые пишут программы типа Maple и Mathematica такие алгоритмы, очевидно, нужны. Но в инженерном деле они вряд ли применяются.

Про прикладные аспекты гомологической алгебры ничего сказать не могу, увы. Не разбираюсь.

В целом я так вас понял, что прикладникам нужно больше современных определений, но меньше доказательств. Выбрасывать же какие-либо курсы из существующей программы не нужно, равно как не нужно и вводить в нее совершенно новые курсы. Это правильно?

[akater.livejournal.com]

> Собственно, это вопрос о том, кто такие вообще прикладники. Людям, которые пишут программы
> типа Maple и Mathematica такие алгоритмы, очевидно, нужны. Но в инженерном деле они вряд ли применяются.

Людей, которые пишут программы типа Maple и Mathematica, я, конечно, считаю прикладниками. Как и тех, кто вообще пишет программы, которые решают математические задачи.

> В целом я так вас понял, что прикладникам нужно больше современных определений, но меньше
> доказательств. Выбрасывать же какие-либо курсы из существующей программы не нужно, равно
> как не нужно и вводить в нее совершенно новые курсы. Это правильно?

Почти. Но нужно сделать несколько замечаний насчёт «современности»... первая недифференцируемая функция была построена Больцано (~1830), модуль непрерывности был введён где-то между 1905 и 1920 годами, производные Dini изучались ещё в конце XIX века, конструкциям Denjoy более 80 лет. Можно ли эти темы называть «современными» в свете таких дат, я не знаю.

Выбрасывать курсы не надо, но после того, как они будут видоизменены так, как мне хотелось бы, вполне может показаться, что былы выброшены вообще все курсы, а на их место поставлены новые со старыми названиями. ) Многим из нынешних российских студентов математических факультетов так показалось бы, мне кажется.

про когомологии

[etre-moral-etre-sincere.blogspot.com (from livejournal.com)]

Ну тут довольно существенно, кого именно нужно считать прикладниками. Для сельхозтехникума когомологии не нужны, как не нужны и новинки ТФДП. Для теорфизиков когомологии в некоторых проявлениях знать существенно (а некоторым теорфизикам даже более существенно, чем многим математикам). Вот Вас где и как учили про когомологии? Ясно, что если учить хорошо, то как минимум сразу понятно к чему это можно применить (например, считая препятствия - к односвязности многообразия, к построению деформации, к тривиализации расслоения - если взять наугад простые примеры).

[akater.livejournal.com]

> Для сельхозтехникума когомологии не нужны
> Для теорфизиков когомологии в некоторых проявлениях знать существенно

Ну, речь не идёт ни о тех, ни о других. Я не знаю, как там с теоретической физикой, а к сельхозтехникуму прикладная математика, конечно, не имела, не имеет и не будет иметь отношения.

> Вот Вас где и как учили про когомологии?

Меня — нигде и никак. Был курс дифференциальной геометрии, там была обычная история про коцепные комплексы, был разобран случай тора (кажется, тора, ну да неважно). Я лично пытался читать несколько разных книг* по этой теме и нигде не продвинулся дальше первой главы. Я не понимаю, зачем это вообще нужно и кому это всё могло придти в голову. Быстро становится скучно, а через несколько минут после прочтения большей части определений, они (эти определения) навсегда и бесследно покидают голову, даже если я веду конспект (если говорить о математике, то подобного со мной никогда не случалось: всегда хоть что-то да остаётся). Чем дольше живу, тем меньше верю в то, что даже самый лучший учитель в мире сможет научить меня всем этим подозрительным штукам, которые мне больше напоминают кабаллистику или фокусы, чем некие благородные занятия. Но до поры до времени я ещё склоняюсь к мысли, что это весьма печальная ситуация и что не стоит окончательно ставить для себя крест на этой теме.

___________________
* Например: Godeman, «Алгебраическая топология и теория пучков»; Hilton, Wylie, «Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию»; Cartan, Eilenberg «Гомологическая алгебра» и ещё какие-то, не помню уже.

[sowa.livejournal.com]

"Например: Godeman, «Алгебраическая топология и теория пучков»; Hilton, Wylie, «Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию»; Cartan, Eilenberg «Гомологическая алгебра» и ещё какие-то, не помню уже."

Годеман и Картан-Эйленберг - это монографии исследовательского уровня, написанные для тех, кто уже знает, что им это нужно (как пишет Годеман в предисловии, раз топологи не написали книгу на эту тему, он, специалист по фукциональному анализу, вынужден написать свою, потому как это все очень нужно). Использовать их в качестве учебника, да еще 50 лет спустя после написания, вряд ли разумно.

Любопытно, что при всей моей давней любви к гомологической алгебре, с Хилтоном-Уайли у меня тоже ничего не получилось (правда, я еще школьником был), и я знаю минимум еще одного человека, который споткнулся на этой книге. Возможно, что-то с ней не так, или она просто не подходит а роль первой книг на эту тему (она по топологии, а не гомологической алгебре, но, я думаю, здесь это не важно.)

[ayudug.livejournal.com]

Мне вот симпатичен старый учебник Andrew Wallace. Во многих местах говорится о мотивации и других возможных путях. Там конечно многого нету.

[etre-moral-etre-sincere.blogspot.com (from livejournal.com)]

Ну тут есть вопросы разного жанра. Например, забудем на секунду про когомологии. Вот вам дано некоторое многообразие (посредством карт и атласов, или более комбинаторно даже - склеено из [криволинейных] симплексов). Дальше Вы хотите про него что-то выяснить. Ну для начала, проверить, что оно односвязно, например. Или ещё что-то в том же роде. На многие из этих вопросов, оказывается, можно ответить, решая вопросы линейной алгебры - про ранги отображений векторных пространств. Это не так очевидно априори, и во многом замечательно. (Ну и дальше есть много более тонких и изящных применений, но тут уже вопрос в том, являются ли некоторые объекты для Вас естественными, или нет, - векторные расслоения, например?) Вопрос, сочтёте ли Вы всё это замечательным, конечно, остаётся: если топология в Вашей системе отсчёта - такая же кабалистика, то будут проблемы.

Интересно также, какие именно коцепные комплексы Вам давали, чтобы считать когомологии. Подозреваю, что раз это был курс дифференциальной геометрии, то скорее всего это были когомологии де Рама. Их для многообразия проще всего определить, но, конечно, если стартовать с этого определения, то может быть довольно загадочно.

Про книжки - если топология Вам кажется осмысленным занятием, то про множественные применения есть замечательная книжка Ботта и Ту "Дифференциальные формы в алгебраической топологии" (кажется, с точностью до 1-2 слов в названии). Есть также отличная книжка Васильева по топологии, изданная по мотивам курса Васильева в НМУ, где речь о симплициальных и сингулярных когомологиях, и эта книжка очень многое проясняет, на самом деле.

[akater.livejournal.com]

Спасибо! Я учту все рекомендации.

> Подозреваю, что раз это был курс дифференциальной геометрии,
> то скорее всего это были когомологии де Рама.

Да, конечно, они.

> тут уже вопрос в том, являются ли некоторые объекты
> для Вас естественными, или нет, - векторные расслоения, например?

Касательные и кокасательные расслоения — безусловно естественны. Первое — из-за систем дифференциальных уравнений, второе — из-за гамильтонова формализма. Определение тензорного поля как сечения TM ... TM T*M ... T*M — тоже совершенно естественное. С векторными расслоениями вообще несколько сложнее. Мне просто не приходят в голову задачи настолько общие, что они начинаются со слов «Рассмотрим произвольное векторное расслоение...».

> если топология в Вашей системе отсчёта - такая же кабалистика, то будут проблемы.

Общая топология всегда была мне интересной и близкой. Вплоть до самых низких уровней типа аксиом отделимости.

[etre-moral-etre-sincere.blogspot.com (from livejournal.com)]

А, ну так замечательно. Вот начинаете Вы выяснять, какие есть препятствия к тривиализации касательного расслоения - можно ли выбрать, скажем, везде ненулевое векторное поле (как в причёсывании ежа), или пару линейно независимых, или, наконец, непрерывно зависящий от точки базис в каждом слое. Эту задачу решают подходящие классы когомологий - про это написано у Ботта и Ту.

Я скорее имел в виду дифференциальную и алгебраическую топологию. Общая топология - это тоже дело, но тут она будет проходить стороной, преимущественно. :)

[sowa.livejournal.com]

"Я думаю, если бы были хорошие учебники, их бы переводили."

Это, конечно, бесконечно далеко от того, как обстоит дело. В мире издаются десятки, если не сотни хороших учебников в год (по всей математике); легко видеть, что, за редчайшими исключениями, они не переводятся.

В частности, есть недавние учебники, в которых излагается интеграл Данжуа (хотя и, насколько я знаю, не построение Данжуа).

Что вы считаете лучшим из имеющегося на две последние темы (Бэр и Данжуа)?

[akater.livejournal.com]

> Что вы считаете лучшим из имеющегося на две последние темы (Бэр и Данжуа)?

Честно говоря, я в замешательстве от этого вопроса. Я не знаю, что ответить. Наверное, предполагается, что я читал хотя бы шесть книг на эту тему. Так вот, я читал меньше и без конспектов, несистематически. Это немэйнстрим, и я не знаю, как тут выбирать лучшее. Можно сравнивать книги, скажем, по дифференциальной геометрии и выбирать лучшие, потому что таких книг много. А учебников, где излагалась бы теория функций в современном виде, я вообще не вижу.

[sowa.livejournal.com]

Да нет, ничего такого не предполагается. Вы знаете вещи, которые сейчас действительно не мэйнстрим, вот я Вас и спрашиваю, где про это лучше прочитать, из любопытства. В конце концов, что Вы читали? Эти темы сейчас почти нигде не излагаются - про интеграл Данжуа в форме самого Данжуа я знаю только главу в одной из книг Натансона, например.

[akater.livejournal.com]

Да я читал-то только Натансона и всякие статьи. Ещё один классический источник информации на эту тему — книга Saks'а («Теория Интеграла», кажется), но она у меня в ужасном e-виде, и я пока не нашёл сил с неё разбираться. Ещё я слышал устные рассказы, из которых следовало, что эта конструкция может оказаться для некоторых (не слишком абстрактных) задач критически важной темой. Но там долгая история, и она не для пересказа в режиме комментов.

Сейчас вот поискал ещё. Есть книга в GoogleBooks

The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock
by Russell A. Gordon

с ограниченным количеством страниц для просмотра. В более доступном варианте я её не вижу. Но в ней вот систематически излагаются разные взгляды на интегрирование (как видно из названия). Стиль вступления мне лично понравился.

[sowa.livejournal.com]

Спасибо. Про Сакса я забыл. Она несколько пугает, не знаю почему. Книжку Gordon'а я знаю, и там как раз нет конструкции самого Данжуа. Там акцент на подходе Henstock'а, модифицированном интеграле Римана (он эквивалентен интегралу Данжуа, но, мне кажется, при этом подходе теряется некая суть).

[ticklish-frog.livejournal.com]

Не знаю, как сейчас, но лет 10 назад все вышеперечисленное, кроме подхода Денжуа и систематического расказа об усреднении, читалось на московском мехмате в обязательных курсах, причем большая часть - именно в курсе матанализа (пространства Гельдера и классификация Бэра - в курсе функционального анализа, а ускорение сходимости - немного в матанализе и в основном в курсе по методам вычислений.

Сейчас даже, вроде передвинули функциональный анализ на несколько раньшее время и сделали еще болшее углибление в приложения (особенно в свете преподавания механики всем студентам на младших курсах).