Алгебра и топология: спорный тезис

[posic]

Задачи гомологической алгебры имеют решения. Поставьте себе задачу гомологической алгебры, разумную (объективно) и интересную (для вас), работайте над ней, и через N десятилетий у вас будет прекрасное решение, устраивающее вас во всех отношениях. Например, задача о неограниченных производных категориях была полностью решена прямо на моих глазах. Задача о правильном утончении структуры триангулированной категории является самым известным на сегодняшний день кандидатом в контрпримеры к моему тезису. Последнее время над ней много работают, и я думаю, что полное решение не за горами.

Важнейшие задачи алгебраической топологии не имеют решений. Надежду и попытки получить полные решения важнейших задач своей науки топологи в последнее время, кажется, вообще оставили. Вместо этого они развивают методы или преодолевают препятствия к естественным конструкциям. Каждый новый метод позволяет отщипнуть еще немножко от краешка неразрешимой проблемы и, в лучшем случае, посмотреть на нее в целом с новой стороны, но он ее не решает. Конкретное препятствие к конструкции можно преодолеть, но вполне естественной формулировки у нее нет и никогда не будет.

Задача о вычислении гомотопических групп сфер сегодня не ближе к своему решению, чем в 1930-х, когда она была поставлена. От нее поотщипывали по краям, и неплохо поотщипывали, это да. Продолжают отщипывать и сейчас. Но я не знаю, чтобы кто-либо из современных специалистов пытался или надеялся ее полностью решить. Модели для спектров изобретаются, и каждая следующая может быть лучше предыдущей, но ответа на вопрос, что такое спектр, кроме как с точностью до гомотопии, нет и, насколько можно судить, не будет. Задача о классификации узлов столь же неразрешима сейчас, как и когда-либо. И т.д.

Comments

[knight-who-says.livejournal.com]

A chto imenno ponimaetsya pod "resheniem" topologicheskoi zadachi?

Naprimer, uzly algoritmicheski raspoznayutsya (i 3-mnogoobraziya, xtati, tozhe, esli verit' v geometrizaciyu). Gomotopicheskie gruppy sfer algoritmicheski vychislyayutsya. No ot etogo kartina yasnee ne stanovitsya.

[posic.livejournal.com]

Под решением задачи понимается достижение ясности по существу задачи.

[buddha239.livejournal.com]

"Задача о правильном утончении структуры триангулированной категории" - хочется читать "уточнении"; так можно?:) Решение какого типа планируется?:)

Алгебраическая топология - это что-то типа природы; ну а гомологическая алгебра - хорошая наука, как раз и привлеченная для общения с этой природой; вот и разница.:)

[posic.livejournal.com]

Есть DG-категории; связанную с ними технику можно надеяться развить до хорошего решения задачи о правильном взгляде на триангулированные категории алгебраического происхождения. Есть дериваторы; связанную с ними технику можно надеяться развить до хорошего решения задачи о правильном взгляде на триангулированные категории топологического происхождения (что есть более общий класс). Есть зазор между этими двумя точками зрения, который должен быть максимально сужен, изучен, и в идеале какие-то мосты через него должны быть проложены.

[buddha239.livejournal.com]

Думаете, в последние годы эти подходы хорошо развиваются?

Кстати, верно ли, что бывают ДГ-оснащения триангулированных категорий, которые никак не связываются квазиизоморфизмами? Это как-то зависит от триангулированной категории?

[(Anonymous)]

Но разве алгоритмическая разрешимость не является ясностью по существу? Ну, по крайней мере, для тех задач, для которых она совсем неочевидна? Нахождение хоть какого-то алгоритма, пусть даже неэффективного, для задачи типа сравнения узлов, имхо, было большим прорывом. Если это не так, то можно сказать, что и в евклидовой геометрии ясности по существу не достигнуть.

[sasha-br.livejournal.com]

Я не понимаю, что ты хочешь сказать. Например, в каком смысле задача о вычислении гомотопических групп сфер важная?
Кто вообще это сказал?

Вообще, на мой взгляд, в обеих науках (гомологическая алгебра и алгебраическая топология) самое главное, что произошло
за последние, скажем, 40 лет - это деятельность Лурье. Это что, алгебра или топология? И с той, и с другой точки
зрения она решает как минимум несколько десятков задач.

[posic.livejournal.com]

Алгоритмическая разрешимость является ясностью по существу задачи об алгоритмической разрешимости. Это представляет интерес, но важнейшие задачи в алгебраической топологии, с моей точки зрения, состоят не в этом. Евклидова геометрия не является задачей.

[posic.livejournal.com]

Мне кажется, над этим работают, да. Конечно, какой окончательный вид примет решение, нельзя сказать, пока оно не получено.

Про единственность DG-оснащений имеется статья -- http://arxiv.org/abs/0908.4187 Вообще говоря, конечно, они вряд ли единственны.

[posic.livejournal.com]

Задача о вычислении гомотопических групп сфер несопоставимо важнее, чем все, что, как я когда-либо слышал, сделал Лурье. Сказал это вообще я, только что.

В том что, как говорят, сделал Лурье, может содержаться решение одной по-настоящему важной задачи, но задача это не относится ни к алгебре, ни к топологии. Это задача об определении нестрогих высших категорий. В какой степени Лурье ее решил, я не знаю.

[posic.livejournal.com]

Собственно, вернее всего было бы сказать, что алгоритмическая разрешимость вместо явного решения и есть типичное отщипывание от краешка. Оно вполне может быть большим прорывом при этом.

[buddha239.livejournal.com]

Спасибо; интересная ссылка!

[buddha239.livejournal.com]

И, кстати, почему является проблемой то, что "Модели для спектров изобретаются, и каждая следующая может быть лучше предыдущей, но ответа на вопрос, что такое спектр, кроме как с точностью до гомотопии, нет и, насколько можно судить, не будет."?

[knight-who-says.livejournal.com]

Nu, mozhet, delo v tom, chto byvayut raznye zadachi. Ponyat' s pervogo vzglyada, kakie iz nih osmyslennye, nelegko. Bol'shinstvo zadach klassifikacii bessmyslenny, esli ih ponimat' bukval'no. Naprimer, zadacha klassifikacii uzlov, skoree vsego, bessmyslennaya, t.k. yavnogo i obozrimogo spiska, kak v sluchae prostyh grupp Li, po-vidimomu, net. To zhe samoe s klassifikaciei gladkih mnogoobrazii. No i v gomologicheskoi algebre mozhno tozhe pridumat' mnogo podobnyh naivnyh voprosov, na kotorye net razumnogo otveta. Naprimer, klassificirovat' vse triangulirovannye kategorii.

No mnogie takie zadachi klassifikacii dopuskayut netrivial'nuyu pereformulirovku. Naprimer, odnosvyaznye racional'nye gomotopicheskie tipy -- eto odnosvyaznye minimal'nye cdga, s tochnost'yu do izomorfizma. Dostigaetsya li pri etom polnaya yasnost', ne znayu.

Xtati, ya by ne ochen' udivilsya, esli by okazalos', chto topologiya kakim-to obrazom vkladyvaetsya v gomologicheskuyu algebru. Vozmozhno, imeet mesto utverzhdenie tipa "dva mnogoobraziya gomeomorfny togda i tol'ko togda, kogda kategorii kakih-nibud' puchkov na nih v nekotorom smysle ekvivalentny". Ili chto-to vrode togo. Togda iz lyuboi topologicheskoi zadachi, ne imeyuschei resheniya, avtomaticheski poluchitsya algebraicheskaya, tozhe ne imeyuschaya resheniya.

[posic.livejournal.com]

Когда есть важнейшее понятие, у которого нет и не ожидается правильного определения, это проблема, по-моему.

[buddha239.livejournal.com]

А почему с точностью до гомотопии - плохо? И, кстати, чем плохи существующие определения?:)

[posic.livejournal.com]

Если вы пытались меня убедить, что вы не понимаете или отказываетесь понимать, что такое разумная задача, то у вас получилось.

В рациональной теории гомотопий (нильпотентных топологических пространств, или с поправкой на неточность функтора проунипотентного пополнения фундаментальной группы) ясность достигнута, да. Это один из самых удачных случаев того отщипывания с краешка, о котором говорится в моем постинге.

[posic.livejournal.com]

Представьте себе, что у вас нет определений ни пучка, ни комплекса, а есть только ряд альтернативных конструкций производной категории комплексов пучков, каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки, но в целом их свойства имеют тенденцию улучшаться по мере по мере возрастания навороченности. По-моему, это было бы непонятно и неудобно.

Анализ существующих определений предпринять не возьмусь, поскольку с ситуацией знаком слабо и понаслышке.

[(Anonymous)]

Имхо, алгоритмическая разрешимость кажется "отщипыванием от краешка" потому, что это положительный результат, причём слабый. Если же она идёт в совокупности с каким-нибудь отрицательным результатом (например, NP- или PSPACE-трудность соответствующей задачи, как с узлами), то можно сказать, что достигнута ясность. Действительно, задача становится эквивалентна какой-нибудь другой чисто комбинаторной или логической задаче, и в этом случае фокус внимания переносится с рассматриваемой предметной области (например, топологии) в область теории алгоритмов.
Альтернативным вариантом достижения ясности является сильный положительный результат, например, наличие эффективного алгоритма для данной задачи.
Геометрия Евклида же представляет собой комплекс задач, достаточно широкий класс из которых алгоритмически разрешим (при этом имеется экспоненциальная нижняя оценка на оптимальный алгоритм). То есть имеет место первый случай. Поэтому я считаю возможным утверждать, что в евклидовой геометрии ясность достигнута (в достаточной степени), и что она не является важной и актуальной областью для исследований. Может, и для задачи классификации узлов можно сказать то же самое.

[posic.livejournal.com]

Совокупность всех задач в определенной теории первого порядка представляет интерес как объект изучения матлогики, теории алгоритмов и т.п. Совокупность всех узлов представляет интерес как объект изучения геометрической топологии. Вопрос об алгоритмической распознаваемости одинаковых узлов -- далеко не самый естественный из тех, что могут быть заданы про этот объект.

Так же, как вопрос об алгоритмической сложности проверки на простоту или генерации очередного простого -- далеко не самый естественный вопрос о простых числах, а вопрос о проверке графов на изоморфизм -- далеко не самый естественный вопрос о графах. Например, наше понимание природы простых чисел опирается на такие утверждения, как асимптотический закон их распределения и гипотеза Римана, и такие понятия, как p-адические числа, спектр кольца Z, и т.д.; а роль известных быстрых алгоритмов в нем не более чем иллюстративная или чисто прикладная.

[buddha239.livejournal.com]

Спасибо, интересно!

С другой стороны, можно ли быть уверенным, что в проблеме оснащений триангулированных категорий ситуация лучше (тем более, что спектры - часть "топологического" подхода:))?

[posic.livejournal.com]

Конечно, оснащения триангулированных категорий спектрами трудновато понять лучше, чем поняты сами спектры. Что касается DG-оснащений, то моя гипотеза состоит в том, что хорошее их понимание будет достигнуто при жизни нашего поколения. Уверенности, конечно, нет. Я так и написал с самого начала, что тезис спорный и кандидат в контрпримеры налицо.

[buddha239.livejournal.com]

Собственно, я даже не столько спорю, сколько пытаюсь узнать побольше по этим вопросам.

[sasha-br.livejournal.com]

Там не просто "решена задача определения высших категорий". Это не одна задача, это целая
область, по объёму вполне сравнимая с SGA. После того как там сделаны базовые вещи (которые очень
нетривиальны -- например, теорема Барр-Бека для бесконечность-категорий реально очень небанальна),
там сделано ещё куча всего. Ну, например, там развита теория E_n-алгебр. В качестве тривиального следствия этой
теории получается гипотеза Делиня о том, что операда маленьких дисков действует на когомологиях
Хохшильда ассоциативной алгебры (там есть понятие центра Е_n-алгебры и доказывается, что
это будет E_{n+1}-алгебра. Гипотеза Делиня это частный случай при n=1). Это не алгебра?

Или, например, такой вопрос: пусть Х - схема. Рассмотрим производную категорию квази-когерентных
пучков на X как моноидальную категорию. Какой у неё центр Дринфельда?
(Без разумного понятия предела в dg-категориях этот
вопрос даже задать нельзя; а тут можно и задать, и ответить). Это опять не алгебра?

Ещё там есть определения и полная классификация понятия топологическая теория поля в любой
размерности. Это (несмотря на слова) чистой воды алгебраическая топология. Но очень непростая.

[posic.livejournal.com]

У полного или частичного решения по-настоящему важной задачи о высших категориях могут быть приложения к небезынтересным, но далеко не настолько важным алгебраическим задачам, которые ты перечисляешь.

[sasha-br.livejournal.com]

Ну, это примерно, как называть всё алгебру (кольца, поля, модуули, группы), всю гомологическую
алгебры, всю теорию категорий и всю алгебраическую геометрию одной задачей и говорить, что у этой
задачи есть небезынтересные приложения к другим менее важным задачам типа гипотез Вейля.

Про Лурье и т.д.:
Такого рода "приложений" уже есть десятки, а в ближайшие годы будут сотни (я просто привёл парочку примеров, которые
я понимаю лучше, чем другие).
С точки зрения алгебраической топологии задача о классификации топологических
теорий поля в миллион раз важнее задачи о вычислении гомотопических групп сфер
(бессмысленно обсуждать почему; лично мне сама мысль о возможности их сравнения
кажется смехотворной).

[posic.livejournal.com]

По-моему, в плане смехотворности два твоих коммента (первый и последний) все говорят сами за себя. Не удивлюсь, если через пару лет ты будешь с таким же пылом объяснять, что Лурье не сделал ничего существенного вообще.

[sasha-br.livejournal.com]

ОК, давай проверим:)

[posic.livejournal.com]

Удивлюсь ли я? Давай.

[knight-who-says.livejournal.com]

> Если вы пытались меня убедить, что вы не понимаете или отказываетесь понимать, что такое разумная задача, то у вас получилось.

Ya ne pytalsya Vas v etom ubedit'. Po-moemu, Vy ne ponimaeta ili otkazyvaetes' ponyat', chto ya napisal, i vmesto etogo lezete v butylku.

[posic.livejournal.com]

Я не лезу в бутылку. Просто если вы делаете вид, что не понимаете, что описанный вами класс конструкций типа "вложения топологии в алгебру" превращает разумные задачи в неразумные, то дальнейшее обсуждение по существу теряет смысл. Вместо этого, смысл приобретает метаобсуждение.

Возможно, вы выступаете здесь как тополог, или, как минимум, полагаете, что защищаете топологию от моих нападок. Если так, то интересно, в чем вы усмотрели нападки, от которых требуется защита. Авторы книжки "Понедельник начинается в субботу" считали, что решать задачи, заведомо не имеющие решения -- занятие, скорее, почетное. Возможно, современная молодежь думает по-другому, или просто некоторые люди, ассоциирующие себя с топологией, начинают нервничать по поводу статуса своей науки. Если так, то это, по-моему, зря.

[baaltii.livejournal.com]

> Но я не знаю, чтобы кто-либо из современных специалистов пытался или надеялся ее полностью решить.

Когда-то казалось, что задача вычисления К-функторов от Z куда сложнее, чем задача вычисления групп сфер. K_3 посчитали с большим трудом, используя крайне нетривиальные результаты Суле, K_4 вообще недавно. А затем оказалось, что результаты Воеводского позволяют описывать 2-кручение везде. К-функторы от Z оказались не такими уж сложными. Есть, конечно, открытые задачи, типа верно ли, что K_{4n}(Z)=0, но все же, прогресс именно в описании достигнут.

Гомотопические группы многих естественных пространств намного сложнее, чем группы сфер. Группы сфер - это кирпичики, из которых построена существенная часть теории гомотопий клеточных пространств. Это природа с волшебством и загадками, но вполне может оказаться, что описание проявится.

[borya-port.livejournal.com]

Привет Леня, привет Саша!
Насчет Лури меня удивляет почему его поклонники с таким пылом объясняют что он первооткрыватель всяких таких вещей.
Про центр Дринфельда пучков ничего не знаю, а про n-категории ну что он такого сделал чего было неизвестно или не доказано ранее?
Действительно, гипотеза Делиня для n-алгебр была доказана Концевичем, Тамаркиным и возможно еще кем-то, и у Тамаркина замечательно что при n больше 2 все строится вообще без трансцендетных чисел.
Гипотеза Делиня для n-категорий? Она насколько я знаю сейчас не доказана, но я спрашивал многих людей доказано ли это в какой-то степени у Лури в ДАГ6 или последующем тексте на его дом страничке--и все говорят что толком не понимают. Если Саша ты ткнешь меня где это у него доказано я буду очень благодарен.
Что до идеи рассматривать правильную локализацию модельных скажем категорий, или в частном случае правильную триангулированную (что есть "стабильная" модельная категория)--ну тут можно вспомнить гениальныне тексты Двайера Кана об этом, и потом топологи рассматривали случай локализации стабильной модельной категории до категории оснащенной над симметрическими спектрами, и это было сделано (Даггер, Шведе, Шипли). Например с моей точки зрения ДАГ1 Лури в этом смысле не дает ничего нового потому как разве есть примеры стабильных инфинити категорий не происходящих из стабильных модельных?
Потом были Симпсон, Тоен...
Совершенно ясно что Лури математик очень крутого уровня, но как-то странно приписывать ему звание первооткрывателя области, существовавшей благополучно и до него...
ПС. Кстати насчет n-алгебр, у Тамаркина там та же самая идея, что некоммутативной базой деформации n-алгебры может быть (n+1)-алгебра, однако похоже эта идея тоже приписывается Лури...