Алгебра и топология: спорный тезис

[posic]

Задачи гомологической алгебры имеют решения. Поставьте себе задачу гомологической алгебры, разумную (объективно) и интересную (для вас), работайте над ней, и через N десятилетий у вас будет прекрасное решение, устраивающее вас во всех отношениях. Например, задача о неограниченных производных категориях была полностью решена прямо на моих глазах. Задача о правильном утончении структуры триангулированной категории является самым известным на сегодняшний день кандидатом в контрпримеры к моему тезису. Последнее время над ней много работают, и я думаю, что полное решение не за горами.

Важнейшие задачи алгебраической топологии не имеют решений. Надежду и попытки получить полные решения важнейших задач своей науки топологи в последнее время, кажется, вообще оставили. Вместо этого они развивают методы или преодолевают препятствия к естественным конструкциям. Каждый новый метод позволяет отщипнуть еще немножко от краешка неразрешимой проблемы и, в лучшем случае, посмотреть на нее в целом с новой стороны, но он ее не решает. Конкретное препятствие к конструкции можно преодолеть, но вполне естественной формулировки у нее нет и никогда не будет.

Задача о вычислении гомотопических групп сфер сегодня не ближе к своему решению, чем в 1930-х, когда она была поставлена. От нее поотщипывали по краям, и неплохо поотщипывали, это да. Продолжают отщипывать и сейчас. Но я не знаю, чтобы кто-либо из современных специалистов пытался или надеялся ее полностью решить. Модели для спектров изобретаются, и каждая следующая может быть лучше предыдущей, но ответа на вопрос, что такое спектр, кроме как с точностью до гомотопии, нет и, насколько можно судить, не будет. Задача о классификации узлов столь же неразрешима сейчас, как и когда-либо. И т.д.

Comments

[posic.livejournal.com]

Совокупность всех задач в определенной теории первого порядка представляет интерес как объект изучения матлогики, теории алгоритмов и т.п. Совокупность всех узлов представляет интерес как объект изучения геометрической топологии. Вопрос об алгоритмической распознаваемости одинаковых узлов -- далеко не самый естественный из тех, что могут быть заданы про этот объект.

Так же, как вопрос об алгоритмической сложности проверки на простоту или генерации очередного простого -- далеко не самый естественный вопрос о простых числах, а вопрос о проверке графов на изоморфизм -- далеко не самый естественный вопрос о графах. Например, наше понимание природы простых чисел опирается на такие утверждения, как асимптотический закон их распределения и гипотеза Римана, и такие понятия, как p-адические числа, спектр кольца Z, и т.д.; а роль известных быстрых алгоритмов в нем не более чем иллюстративная или чисто прикладная.