Алгебра и топология: спорный тезис

[posic]

Задачи гомологической алгебры имеют решения. Поставьте себе задачу гомологической алгебры, разумную (объективно) и интересную (для вас), работайте над ней, и через N десятилетий у вас будет прекрасное решение, устраивающее вас во всех отношениях. Например, задача о неограниченных производных категориях была полностью решена прямо на моих глазах. Задача о правильном утончении структуры триангулированной категории является самым известным на сегодняшний день кандидатом в контрпримеры к моему тезису. Последнее время над ней много работают, и я думаю, что полное решение не за горами.

Важнейшие задачи алгебраической топологии не имеют решений. Надежду и попытки получить полные решения важнейших задач своей науки топологи в последнее время, кажется, вообще оставили. Вместо этого они развивают методы или преодолевают препятствия к естественным конструкциям. Каждый новый метод позволяет отщипнуть еще немножко от краешка неразрешимой проблемы и, в лучшем случае, посмотреть на нее в целом с новой стороны, но он ее не решает. Конкретное препятствие к конструкции можно преодолеть, но вполне естественной формулировки у нее нет и никогда не будет.

Задача о вычислении гомотопических групп сфер сегодня не ближе к своему решению, чем в 1930-х, когда она была поставлена. От нее поотщипывали по краям, и неплохо поотщипывали, это да. Продолжают отщипывать и сейчас. Но я не знаю, чтобы кто-либо из современных специалистов пытался или надеялся ее полностью решить. Модели для спектров изобретаются, и каждая следующая может быть лучше предыдущей, но ответа на вопрос, что такое спектр, кроме как с точностью до гомотопии, нет и, насколько можно судить, не будет. Задача о классификации узлов столь же неразрешима сейчас, как и когда-либо. И т.д.

Comments

[posic.livejournal.com]

Если вы пытались меня убедить, что вы не понимаете или отказываетесь понимать, что такое разумная задача, то у вас получилось.

В рациональной теории гомотопий (нильпотентных топологических пространств, или с поправкой на неточность функтора проунипотентного пополнения фундаментальной группы) ясность достигнута, да. Это один из самых удачных случаев того отщипывания с краешка, о котором говорится в моем постинге.

[knight-who-says.livejournal.com]

> Если вы пытались меня убедить, что вы не понимаете или отказываетесь понимать, что такое разумная задача, то у вас получилось.

Ya ne pytalsya Vas v etom ubedit'. Po-moemu, Vy ne ponimaeta ili otkazyvaetes' ponyat', chto ya napisal, i vmesto etogo lezete v butylku.

[posic.livejournal.com]

Я не лезу в бутылку. Просто если вы делаете вид, что не понимаете, что описанный вами класс конструкций типа "вложения топологии в алгебру" превращает разумные задачи в неразумные, то дальнейшее обсуждение по существу теряет смысл. Вместо этого, смысл приобретает метаобсуждение.

Возможно, вы выступаете здесь как тополог, или, как минимум, полагаете, что защищаете топологию от моих нападок. Если так, то интересно, в чем вы усмотрели нападки, от которых требуется защита. Авторы книжки "Понедельник начинается в субботу" считали, что решать задачи, заведомо не имеющие решения -- занятие, скорее, почетное. Возможно, современная молодежь думает по-другому, или просто некоторые люди, ассоциирующие себя с топологией, начинают нервничать по поводу статуса своей науки. Если так, то это, по-моему, зря.