Алгебра и топология: спорный тезис

[posic]

Задачи гомологической алгебры имеют решения. Поставьте себе задачу гомологической алгебры, разумную (объективно) и интересную (для вас), работайте над ней, и через N десятилетий у вас будет прекрасное решение, устраивающее вас во всех отношениях. Например, задача о неограниченных производных категориях была полностью решена прямо на моих глазах. Задача о правильном утончении структуры триангулированной категории является самым известным на сегодняшний день кандидатом в контрпримеры к моему тезису. Последнее время над ней много работают, и я думаю, что полное решение не за горами.

Важнейшие задачи алгебраической топологии не имеют решений. Надежду и попытки получить полные решения важнейших задач своей науки топологи в последнее время, кажется, вообще оставили. Вместо этого они развивают методы или преодолевают препятствия к естественным конструкциям. Каждый новый метод позволяет отщипнуть еще немножко от краешка неразрешимой проблемы и, в лучшем случае, посмотреть на нее в целом с новой стороны, но он ее не решает. Конкретное препятствие к конструкции можно преодолеть, но вполне естественной формулировки у нее нет и никогда не будет.

Задача о вычислении гомотопических групп сфер сегодня не ближе к своему решению, чем в 1930-х, когда она была поставлена. От нее поотщипывали по краям, и неплохо поотщипывали, это да. Продолжают отщипывать и сейчас. Но я не знаю, чтобы кто-либо из современных специалистов пытался или надеялся ее полностью решить. Модели для спектров изобретаются, и каждая следующая может быть лучше предыдущей, но ответа на вопрос, что такое спектр, кроме как с точностью до гомотопии, нет и, насколько можно судить, не будет. Задача о классификации узлов столь же неразрешима сейчас, как и когда-либо. И т.д.

Comments

[knight-who-says.livejournal.com]

A chto imenno ponimaetsya pod "resheniem" topologicheskoi zadachi?

Naprimer, uzly algoritmicheski raspoznayutsya (i 3-mnogoobraziya, xtati, tozhe, esli verit' v geometrizaciyu). Gomotopicheskie gruppy sfer algoritmicheski vychislyayutsya. No ot etogo kartina yasnee ne stanovitsya.

[posic.livejournal.com]

Под решением задачи понимается достижение ясности по существу задачи.

[(Anonymous)]

Но разве алгоритмическая разрешимость не является ясностью по существу? Ну, по крайней мере, для тех задач, для которых она совсем неочевидна? Нахождение хоть какого-то алгоритма, пусть даже неэффективного, для задачи типа сравнения узлов, имхо, было большим прорывом. Если это не так, то можно сказать, что и в евклидовой геометрии ясности по существу не достигнуть.

[posic.livejournal.com]

Алгоритмическая разрешимость является ясностью по существу задачи об алгоритмической разрешимости. Это представляет интерес, но важнейшие задачи в алгебраической топологии, с моей точки зрения, состоят не в этом. Евклидова геометрия не является задачей.

[posic.livejournal.com]

Собственно, вернее всего было бы сказать, что алгоритмическая разрешимость вместо явного решения и есть типичное отщипывание от краешка. Оно вполне может быть большим прорывом при этом.

[(Anonymous)]

Имхо, алгоритмическая разрешимость кажется "отщипыванием от краешка" потому, что это положительный результат, причём слабый. Если же она идёт в совокупности с каким-нибудь отрицательным результатом (например, NP- или PSPACE-трудность соответствующей задачи, как с узлами), то можно сказать, что достигнута ясность. Действительно, задача становится эквивалентна какой-нибудь другой чисто комбинаторной или логической задаче, и в этом случае фокус внимания переносится с рассматриваемой предметной области (например, топологии) в область теории алгоритмов.
Альтернативным вариантом достижения ясности является сильный положительный результат, например, наличие эффективного алгоритма для данной задачи.
Геометрия Евклида же представляет собой комплекс задач, достаточно широкий класс из которых алгоритмически разрешим (при этом имеется экспоненциальная нижняя оценка на оптимальный алгоритм). То есть имеет место первый случай. Поэтому я считаю возможным утверждать, что в евклидовой геометрии ясность достигнута (в достаточной степени), и что она не является важной и актуальной областью для исследований. Может, и для задачи классификации узлов можно сказать то же самое.

[posic.livejournal.com]

Совокупность всех задач в определенной теории первого порядка представляет интерес как объект изучения матлогики, теории алгоритмов и т.п. Совокупность всех узлов представляет интерес как объект изучения геометрической топологии. Вопрос об алгоритмической распознаваемости одинаковых узлов -- далеко не самый естественный из тех, что могут быть заданы про этот объект.

Так же, как вопрос об алгоритмической сложности проверки на простоту или генерации очередного простого -- далеко не самый естественный вопрос о простых числах, а вопрос о проверке графов на изоморфизм -- далеко не самый естественный вопрос о графах. Например, наше понимание природы простых чисел опирается на такие утверждения, как асимптотический закон их распределения и гипотеза Римана, и такие понятия, как p-адические числа, спектр кольца Z, и т.д.; а роль известных быстрых алгоритмов в нем не более чем иллюстративная или чисто прикладная.

[knight-who-says.livejournal.com]

Nu, mozhet, delo v tom, chto byvayut raznye zadachi. Ponyat' s pervogo vzglyada, kakie iz nih osmyslennye, nelegko. Bol'shinstvo zadach klassifikacii bessmyslenny, esli ih ponimat' bukval'no. Naprimer, zadacha klassifikacii uzlov, skoree vsego, bessmyslennaya, t.k. yavnogo i obozrimogo spiska, kak v sluchae prostyh grupp Li, po-vidimomu, net. To zhe samoe s klassifikaciei gladkih mnogoobrazii. No i v gomologicheskoi algebre mozhno tozhe pridumat' mnogo podobnyh naivnyh voprosov, na kotorye net razumnogo otveta. Naprimer, klassificirovat' vse triangulirovannye kategorii.

No mnogie takie zadachi klassifikacii dopuskayut netrivial'nuyu pereformulirovku. Naprimer, odnosvyaznye racional'nye gomotopicheskie tipy -- eto odnosvyaznye minimal'nye cdga, s tochnost'yu do izomorfizma. Dostigaetsya li pri etom polnaya yasnost', ne znayu.

Xtati, ya by ne ochen' udivilsya, esli by okazalos', chto topologiya kakim-to obrazom vkladyvaetsya v gomologicheskuyu algebru. Vozmozhno, imeet mesto utverzhdenie tipa "dva mnogoobraziya gomeomorfny togda i tol'ko togda, kogda kategorii kakih-nibud' puchkov na nih v nekotorom smysle ekvivalentny". Ili chto-to vrode togo. Togda iz lyuboi topologicheskoi zadachi, ne imeyuschei resheniya, avtomaticheski poluchitsya algebraicheskaya, tozhe ne imeyuschaya resheniya.

[posic.livejournal.com]

Если вы пытались меня убедить, что вы не понимаете или отказываетесь понимать, что такое разумная задача, то у вас получилось.

В рациональной теории гомотопий (нильпотентных топологических пространств, или с поправкой на неточность функтора проунипотентного пополнения фундаментальной группы) ясность достигнута, да. Это один из самых удачных случаев того отщипывания с краешка, о котором говорится в моем постинге.

[knight-who-says.livejournal.com]

> Если вы пытались меня убедить, что вы не понимаете или отказываетесь понимать, что такое разумная задача, то у вас получилось.

Ya ne pytalsya Vas v etom ubedit'. Po-moemu, Vy ne ponimaeta ili otkazyvaetes' ponyat', chto ya napisal, i vmesto etogo lezete v butylku.

[posic.livejournal.com]

Я не лезу в бутылку. Просто если вы делаете вид, что не понимаете, что описанный вами класс конструкций типа "вложения топологии в алгебру" превращает разумные задачи в неразумные, то дальнейшее обсуждение по существу теряет смысл. Вместо этого, смысл приобретает метаобсуждение.

Возможно, вы выступаете здесь как тополог, или, как минимум, полагаете, что защищаете топологию от моих нападок. Если так, то интересно, в чем вы усмотрели нападки, от которых требуется защита. Авторы книжки "Понедельник начинается в субботу" считали, что решать задачи, заведомо не имеющие решения -- занятие, скорее, почетное. Возможно, современная молодежь думает по-другому, или просто некоторые люди, ассоциирующие себя с топологией, начинают нервничать по поводу статуса своей науки. Если так, то это, по-моему, зря.