Алгебра и топология: спорный тезис

[posic]

Задачи гомологической алгебры имеют решения. Поставьте себе задачу гомологической алгебры, разумную (объективно) и интересную (для вас), работайте над ней, и через N десятилетий у вас будет прекрасное решение, устраивающее вас во всех отношениях. Например, задача о неограниченных производных категориях была полностью решена прямо на моих глазах. Задача о правильном утончении структуры триангулированной категории является самым известным на сегодняшний день кандидатом в контрпримеры к моему тезису. Последнее время над ней много работают, и я думаю, что полное решение не за горами.

Важнейшие задачи алгебраической топологии не имеют решений. Надежду и попытки получить полные решения важнейших задач своей науки топологи в последнее время, кажется, вообще оставили. Вместо этого они развивают методы или преодолевают препятствия к естественным конструкциям. Каждый новый метод позволяет отщипнуть еще немножко от краешка неразрешимой проблемы и, в лучшем случае, посмотреть на нее в целом с новой стороны, но он ее не решает. Конкретное препятствие к конструкции можно преодолеть, но вполне естественной формулировки у нее нет и никогда не будет.

Задача о вычислении гомотопических групп сфер сегодня не ближе к своему решению, чем в 1930-х, когда она была поставлена. От нее поотщипывали по краям, и неплохо поотщипывали, это да. Продолжают отщипывать и сейчас. Но я не знаю, чтобы кто-либо из современных специалистов пытался или надеялся ее полностью решить. Модели для спектров изобретаются, и каждая следующая может быть лучше предыдущей, но ответа на вопрос, что такое спектр, кроме как с точностью до гомотопии, нет и, насколько можно судить, не будет. Задача о классификации узлов столь же неразрешима сейчас, как и когда-либо. И т.д.

Comments

[posic.livejournal.com]

Задача о вычислении гомотопических групп сфер несопоставимо важнее, чем все, что, как я когда-либо слышал, сделал Лурье. Сказал это вообще я, только что.

В том что, как говорят, сделал Лурье, может содержаться решение одной по-настоящему важной задачи, но задача это не относится ни к алгебре, ни к топологии. Это задача об определении нестрогих высших категорий. В какой степени Лурье ее решил, я не знаю.

[sasha-br.livejournal.com]

Там не просто "решена задача определения высших категорий". Это не одна задача, это целая
область, по объёму вполне сравнимая с SGA. После того как там сделаны базовые вещи (которые очень
нетривиальны -- например, теорема Барр-Бека для бесконечность-категорий реально очень небанальна),
там сделано ещё куча всего. Ну, например, там развита теория E_n-алгебр. В качестве тривиального следствия этой
теории получается гипотеза Делиня о том, что операда маленьких дисков действует на когомологиях
Хохшильда ассоциативной алгебры (там есть понятие центра Е_n-алгебры и доказывается, что
это будет E_{n+1}-алгебра. Гипотеза Делиня это частный случай при n=1). Это не алгебра?

Или, например, такой вопрос: пусть Х - схема. Рассмотрим производную категорию квази-когерентных
пучков на X как моноидальную категорию. Какой у неё центр Дринфельда?
(Без разумного понятия предела в dg-категориях этот
вопрос даже задать нельзя; а тут можно и задать, и ответить). Это опять не алгебра?

Ещё там есть определения и полная классификация понятия топологическая теория поля в любой
размерности. Это (несмотря на слова) чистой воды алгебраическая топология. Но очень непростая.

[posic.livejournal.com]

У полного или частичного решения по-настоящему важной задачи о высших категориях могут быть приложения к небезынтересным, но далеко не настолько важным алгебраическим задачам, которые ты перечисляешь.

[sasha-br.livejournal.com]

Ну, это примерно, как называть всё алгебру (кольца, поля, модуули, группы), всю гомологическую
алгебры, всю теорию категорий и всю алгебраическую геометрию одной задачей и говорить, что у этой
задачи есть небезынтересные приложения к другим менее важным задачам типа гипотез Вейля.

Про Лурье и т.д.:
Такого рода "приложений" уже есть десятки, а в ближайшие годы будут сотни (я просто привёл парочку примеров, которые
я понимаю лучше, чем другие).
С точки зрения алгебраической топологии задача о классификации топологических
теорий поля в миллион раз важнее задачи о вычислении гомотопических групп сфер
(бессмысленно обсуждать почему; лично мне сама мысль о возможности их сравнения
кажется смехотворной).

[posic.livejournal.com]

По-моему, в плане смехотворности два твоих коммента (первый и последний) все говорят сами за себя. Не удивлюсь, если через пару лет ты будешь с таким же пылом объяснять, что Лурье не сделал ничего существенного вообще.

[sasha-br.livejournal.com]

ОК, давай проверим:)

[posic.livejournal.com]

Удивлюсь ли я? Давай.

[borya-port.livejournal.com]

Привет Леня, привет Саша!
Насчет Лури меня удивляет почему его поклонники с таким пылом объясняют что он первооткрыватель всяких таких вещей.
Про центр Дринфельда пучков ничего не знаю, а про n-категории ну что он такого сделал чего было неизвестно или не доказано ранее?
Действительно, гипотеза Делиня для n-алгебр была доказана Концевичем, Тамаркиным и возможно еще кем-то, и у Тамаркина замечательно что при n больше 2 все строится вообще без трансцендетных чисел.
Гипотеза Делиня для n-категорий? Она насколько я знаю сейчас не доказана, но я спрашивал многих людей доказано ли это в какой-то степени у Лури в ДАГ6 или последующем тексте на его дом страничке--и все говорят что толком не понимают. Если Саша ты ткнешь меня где это у него доказано я буду очень благодарен.
Что до идеи рассматривать правильную локализацию модельных скажем категорий, или в частном случае правильную триангулированную (что есть "стабильная" модельная категория)--ну тут можно вспомнить гениальныне тексты Двайера Кана об этом, и потом топологи рассматривали случай локализации стабильной модельной категории до категории оснащенной над симметрическими спектрами, и это было сделано (Даггер, Шведе, Шипли). Например с моей точки зрения ДАГ1 Лури в этом смысле не дает ничего нового потому как разве есть примеры стабильных инфинити категорий не происходящих из стабильных модельных?
Потом были Симпсон, Тоен...
Совершенно ясно что Лури математик очень крутого уровня, но как-то странно приписывать ему звание первооткрывателя области, существовавшей благополучно и до него...
ПС. Кстати насчет n-алгебр, у Тамаркина там та же самая идея, что некоммутативной базой деформации n-алгебры может быть (n+1)-алгебра, однако похоже эта идея тоже приписывается Лури...